Vektorraum erfüllt? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:01 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Cophidia |
Hallo,
sitze jetzt seit einigen Tagen vor der Aufgabe und find nicht mal nen Ansatz, das heißt ich weiß nicht wirklich wie ich anfangen soll! Wäre schön, wenn Ihr mir helfen könnt! Studiere jetzt seit zwei Wochen und bin schon seit langer Zeit aus der Schule raus, hab irgendwie bei einigen Dingen den Faden verloren, muß mich erstmal wieder reinfinden!
Hier die Aufgabe:
Auf [mm] \IR [/mm] seien folgende Verknüpfungen +,*,° erklärt: [mm] x+y=\wurzel[2]{(x^3+y^3)}, [/mm] r*x = rx (gewöhnliche Multiplikation) r°x [mm] =\wurzel[3]{r} [/mm] *x für alle x,y,r [mm] \in \IR.
[/mm]
Untersuchen Sie, welche Eigenschaften (V1)-(V8) erfüllt sind für (a) [mm] \IR [/mm] mit + als Addition und * als Skalarmultiplikation, (b) [mm] \IR [/mm] mit + als Addition und ° als Skalarmultiplikation.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Conny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:38 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Cophidia,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> sitze jetzt seit einigen Tagen vor der Aufgabe und find
> nicht mal nen Ansatz, das heißt ich weiß nicht wirklich wie
> ich anfangen soll! Wäre schön, wenn Ihr mir helfen könnt!
> Studiere jetzt seit zwei Wochen und bin schon seit langer
> Zeit aus der Schule raus, hab irgendwie bei einigen Dingen
> den Faden verloren, muß mich erstmal wieder reinfinden!
>
> Hier die Aufgabe:
> Auf IR seien folgende Verknüpfungen +,*,° erklärt:
> x+y=wurzel [2] [mm]{(x^3+y^3)},[/mm] r*x = rx (gewöhnliche
> Multiplikation) r°x = wurzel[3]{r} *x für alle x,y,r [mm]\in \IR.
[/mm]
>
> Untersuchen Sie, welche Eigenschaften (V1)-(V8) erfüllt
> sind für (a) [mm]\IR[/mm] mit + als Addition und * als
> Skalarmultiplikation, (b) [mm]\IR[/mm] mit + als Addition und ° als
> Skalarmultiplikation.
Schreib' und doch auch mal die 8 Vektorraumaxiome, oder zumindestens ein einziges, dessen Gültigkeit du zwar versucht hast zu überprüfen, woran du aber dann gescheitert bist.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:10 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Cophidia |
Hey,
das Problem ist, ich weiß nicht mal wie ich anfangen soll! Also hier die einzelnen Axiome:
(V1) (x+y)+z=x+(y+z)
(V2) 0 [mm] \in [/mm] V x+0=x
(V3) ex. -x [mm] \in [/mm] V x+(-x)=0
(v4) x+y=y+x
(V5) (ab)x = a(bx)
(V6) 1x=x
(V7) a(x+y)=ax+ay
(V8) (a+b)x=ax+by
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:33 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Cophidia,
> (V1) (x+y)+z=x+(y+z)
Ich mache es mal für diese Axiom vor.
Um die neu definierte Addition von der herkömmlichen Addition zu unterscheiden, schreibe ich [mm] $\oplus$ [/mm] für die neue Addition und + für die alte.
Zu zeigen: [mm] $(x\oplus y)\oplus z=x\oplus(y\oplus [/mm] z)$
Beweis:
[mm] $(\blue{x\oplus y})\oplus [/mm] z$
[mm] $\stackrel{Def.}{=}\wurzel[3]{\left(\blue{x\oplus y}\right)^3+z^3}$
[/mm]
[mm] $\stackrel{Def.}{=}\wurzel[3]{\left(\blue{\wurzel[3]{x^3+y^3}}\right)^3+z^3}$
[/mm]
[mm] $=\wurzel[3]{x^3+y^3+z^3}$
[/mm]
[mm] $=\wurzel[3]{x^3+\left(\blue{\wurzel[3]{y^3+z^3}}\right)^3}$
[/mm]
[mm] $=\wurzel[3]{x^3+(\blue{y\oplus z})^3}$
[/mm]
[mm] $=x\oplus (\blue{y\oplus z})$
[/mm]
So, ich hoffe, für ein paar der anderen Axiome findest du nun einen Ansatz und kannst uns diesen zeigen... falls nicht, frage einfach nach 
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:04 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Cophidia |
Hey danke Dir!
Ich habe bei den Aufgaben wohl ein Problem, daß ich nicht weiß, was ich jetzt als x sehen soll oder nicht?
Es reicht doch nicht für den Nullvektor einfach so 0 zu schreiben, es ist doch klar, daß Addition mit 0 =x ist! Aber das darf ich ja nicht voraussetzen oder?
Genauso wie mit -x: Es wäre ja dann das -x 3.wurzel [mm] (-x^3-y^3)? [/mm] Hmm ich verzweifel einfach davor!
Weiter frage ich mich, ob bei der Multiplikation das r [mm] \in [/mm] K darstellt oder nicht!
Ach ist wahrscheinlich schon zu spät für mich zum Nachdenken 
Lieben Gruß
Conny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:58 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Conny
> Ich habe bei den Aufgaben wohl ein Problem, daß ich nicht
> weiß, was ich jetzt als x sehen soll oder nicht?
>
> Es reicht doch nicht für den Nullvektor einfach so 0 zu
> schreiben, es ist doch klar, daß Addition mit 0 =x ist!
> Aber das darf ich ja nicht voraussetzen oder?
>
> Genauso wie mit -x: Es wäre ja dann das -x 3.wurzel
> [mm](-x^3-y^3)?[/mm] Hmm ich verzweifel einfach davor!
Ganz wichtig ist hier, dass du dich von der herkömmlichen Bedeutung der Symbole (0, +, -) trennst.
Wie war das mit fünf Jahren, als du zum ersten Mal ein "+"-Zeichen gesehen hast?
Da hast du dich gefragt: "Häh, was bedeuten denn dieser waagerechte und senkrechte Strich, die sich gegenseitig halbieren?"
Jetzt weißt du: Dieses Symbol bedeutet: "Ziehe die dritte Wurzel aus der Summe der dritten Potenzen der beiden Argumente".
Wie bereits in meiner vorherigen Antwort eingeführt, schreibt für diese Art Verknüpfung lieber [mm] $\oplus$, [/mm] sonst verwechselst du diese Verknüpfung mit der herkömmlichen Addition.
Das Symbol "0" ist ein Element der Menge K, dass die Eigenschaft hat, mit jedem Element der Menge K [mm] "$\oplus$"-verknüpft [/mm] das Element selbst zu ergeben: [mm] $x\oplus [/mm] 0=x$.
In diesem Fall ist "0" tatsächlich die Null, die wir kennen, trotzdem mußt du aber noch an Hand der Definition von [mm] $\oplus$ [/mm] überprüfen, ob
[mm] $x\oplus [/mm] 0=x$ gilt.
Das rechne uns mal bitte als Übung vor.
Dasselbe gilt für das Symbol "-x".
Das Minuszeichen und das x ist ein einziges Symbol, man hätte auch ein anderes wählen können, z.B. [mm] $\clubsuit$:
[/mm]
[mm] $x\oplus \clubsuit=0$
[/mm]
Dieses Symbol ist allerdings nicht so schön, da dort nicht sinnfällig die Information untergebracht ist, dass das inverse Element zu jedem Element einzeln gebildet/gefunden werden muss, dass das inverse Element also von x abhängt.
Bei der Verknüpfung [mm] $\oplus$ [/mm] ist aber tatsächlich das inverse Element zu x die bekannte Gegenzahl -x; das mußt du so zeigen:
[mm] $x\oplus (-x)\stackrel{?}{=}0$
[/mm]
> Weiter frage ich mich, ob bei der Multiplikation das r [mm]\in[/mm]
> K darstellt oder nicht!
Was meinst du mit diesem Satz, ich verstehe ihn nicht.
> Ach ist wahrscheinlich schon zu spät für mich zum
> Nachdenken
Und für mich zum Antworten
Viele Grüße und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") ,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Cophidia |
Hallo Marc,
vielen Dank für Deinen letzten Tip, der war goldwert, denn genau da lag mein Denkfehler! Habe alle Aufgaben gelöst bekommen, leider war der Server überlastet, konnte sie eh ich sie abgeben mußte nicht mehr reinsetzen!
Freitag weiß ich, ob ich es wirklich verstanden habe
Ganz lieben Dank
Conny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:23 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Conny,
Kann es sein, dass es
[mm]x+y=\wurzel[\red{3}]{(x^3+y^3)}[/mm]
lautet?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:31 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Cophidia |
> Hallo Conny,
>
> Kann es sein, dass es
>
> [mm]x+y=\wurzel[\red{3}]{(x^3+y^3)}[/mm]
>
> lautet?
>
> Viele Grüße,
> Marc
>
Hey Marc,
ja das ist richtig! nur wie beweis ich jetzt die Axiome? Was soll ich damit machen? [mm]x+y=\wurzel[\red{3}]{(y^3+x^3)}[/mm] ???? Das wäre doch zu einfach oder? Hab da echt nen Blackout!
Danke Dir!
Conny
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