Vektorraum der Polynome < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Do 13.12.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei V der Vektorraum der Polynome über [mm] \IR [/mm] vom Grad [mm] \le [/mm] 2. Sei [mm] f:V \to \IR^2 [/mm] definiert durch [mm] f( \summe_{i=0}^{2} a_iT^{i}) = \pmat{a_2\\a_0}[/mm].
Bestimmen Sie eine Basis von Kern(f) und von Bild(f). |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich weiss, dass der Kern diejenigen Vektoren sind, deren Bild der Nullvektor ist. Wie sieht das hier aus ?
[mm]a_0+a_1T+a_2T^2[/mm] wird abgebildet auf [mm]\pmat{0\\0}[/mm].
Stimmt das und wie mache ich weiter ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Do 13.12.2007 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
soweit ist das schon ganz gut.
Die Abbildung f ordnet [mm] p=a_2T^2+a_1T+a_0 \mapsto \pmat{a_2\\a_0} [/mm] zu. Damit p im Kern von f liegt muss dann [mm] f(p)=\pmat{0\\0} [/mm] gelten. Es sollte einen ganzen Lösungsraum geben. Nun müsstest du ein/mehere Polynome finden, die durch Linearkombination alle deine Lösungen erzeugen und lin. unabh. sind.
Das Bild muss in der Menge liegen, in die abgebildet wird [mm] (\IR^2). [/mm] Es enthält alle möglichen Lösungen der Gleichung. Danach brauchst du nur noch eine Basis dieser Menge finden.
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Fr 14.12.2007 | | Autor: | SusanneK |
> Hallo,
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> soweit ist das schon ganz gut.
> Die Abbildung f ordnet [mm]p=a_2T^2+a_1T+a_0 \mapsto \pmat{a_2\\a_0}[/mm]
> zu. Damit p im Kern von f liegt muss dann [mm] f(p)=\pmat{0\\0} [/mm]
> gelten. Es sollte einen ganzen Lösungsraum geben. Nun
> müsstest du ein/mehere Polynome finden, die durch
> Linearkombination alle deine Lösungen erzeugen und lin.
> unabh. sind.
> Das Bild muss in der Menge liegen, in die abgebildet wird
> [mm](\IR^2).[/mm] Es enthält alle möglichen Lösungen der Gleichung.
> Danach brauchst du nur noch eine Basis dieser Menge
> finden.
>
> Ciao.
Erstmal vielen Dank für Deine Hilfe !
Jetzt habe ich viel nachgelesen, aber so richtig komme ich immer noch nicht weiter:
Wenn [mm]p=a_2T^2+a_1T+a_0 \mapsto \pmat{0\\0}[/mm] ergeben soll, dann muss [mm] a_2,a_0=0 [/mm] sein. Bedeutet das:
Alle [mm] p=a_1T [/mm] sind Kern(f) und eine Basis daraus könnte sein
[mm] p_1=T [/mm].
Aber was ist, wenn der Grad < 2 ist, dann habe ich doch gar kein [mm] a_2 [/mm] ?
Oder bin ich völlig auf dem Holzweg ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Fr 14.12.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Susanne!
> Alle [mm]p=a_1T[/mm] sind Kern(f) und eine Basis daraus könnte
> sein
> [mm]p_1=T [/mm].
Genau so ist es!
> Aber was ist, wenn der Grad < 2 ist, dann habe ich doch gar
> kein [mm]a_2[/mm] ?
Doch, wo nichts steht, steht 0, also [mm] 0*T^{2}
[/mm]
> Oder bin ich völlig auf dem Holzweg ?
Naja, ein bißchen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Fr 14.12.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Dieter,
vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !
Dann bin ich ja schon mal ein bisschen weiter, danke !
Aber leider reicht mein Wissen immer noch nicht für die Basis von Bild(f).
Wie komme ich denn von
[mm] a_2T^2+a_1T+a_0 [/mm] auf [mm] \pmat{a_2\\a_0} [/mm] ?
Kann ich das [mm] T^2 [/mm] als [mm] x^2 [/mm] ansehen ?
LG und danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Fr 14.12.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Susanne,
> Aber leider reicht mein Wissen immer noch nicht für die
> Basis von Bild(f).
> Wie komme ich denn von
> [mm]a_2T^2+a_1T+a_0[/mm] auf [mm]\pmat{a_2\\a_0}[/mm] ?
> Kann ich das [mm]T^2[/mm] als [mm]x^2[/mm] ansehen ?
ja, kannst du. Das macht die Polynome einfach vertrauter, nicht?
Überlege für Bild(f) einfach, ob es irgendeinen Vektor aus dem [mm] $\IR^2$ [/mm] gibt, der nicht "erreicht" werden kann, zu dem es also kein Polynom als Urbild gibt.
Kennst du eine Basis des [mm] $\IR^2$?
[/mm]
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Fr 14.12.2007 | | Autor: | SusanneK |
> Hallo Susanne,
>
> > Aber leider reicht mein Wissen immer noch nicht für die
> > Basis von Bild(f).
> > Wie komme ich denn von
> > [mm]a_2T^2+a_1T+a_0[/mm] auf [mm]\pmat{a_2\\a_0}[/mm] ?
> > Kann ich das [mm]T^2[/mm] als [mm]x^2[/mm] ansehen ?
>
> ja, kannst du. Das macht die Polynome einfach vertrauter,
> nicht?
>
> Überlege für Bild(f) einfach, ob es irgendeinen Vektor aus
> dem [mm]\IR^2[/mm] gibt, der nicht "erreicht" werden kann, zu dem es
> also kein Polynom als Urbild gibt.
> Kennst du eine Basis des [mm]\IR^2[/mm]?
>
> Gruß
> Will
Hallo Will,
vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !
Können alle die nicht erreicht werden, deren Polynom ein [mm] a_1 \not= 0 [/mm] haben, also sozusagen die Komplementärmenge zum Kern ?
Und wie stelle ich das als Vektor dar ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Fr 14.12.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Susanne!
> Können alle die nicht erreicht werden, deren Polynom ein
> [mm]a_1 \not= 0[/mm] haben, also sozusagen die Komplementärmenge zum
> Kern ?
Dieser Satz entspricht in keiner Weise den grammatischen Grundregeln der deutschen Sprache. Daher verstehe ich ihn auch nicht!
Ich wiederhole also koeppers Frage in meinen Worten: Gibt es einen Vektor im [mm] \IR^{2}, [/mm] der nicht Bild eines Polynoms vom Grad [mm] \le [/mm] 2 unter dieser Abbildung ist? Dies ist zunächst eine Entscheidungsfrage, die nur mit ja/nein beantwortet werden kann. Die Antwort solltest du dann aber begründen. Mach mal ...
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Fr 14.12.2007 | | Autor: | SusanneK |
> Hallo Susanne!
>
> > Können alle die nicht erreicht werden, deren Polynom ein
> > [mm]a_1 \not= 0[/mm] haben, also sozusagen die Komplementärmenge zum
> > Kern ?
>
> Dieser Satz entspricht in keiner Weise den grammatischen
> Grundregeln der deutschen Sprache. Daher verstehe ich ihn
> auch nicht!
>
> Ich wiederhole also koeppers Frage in meinen Worten: Gibt
> es einen Vektor im [mm]\IR^{2},[/mm] der nicht Bild eines Polynoms
> vom Grad [mm]\le[/mm] 2 unter dieser Abbildung ist? Dies ist
> zunächst eine Entscheidungsfrage, die nur mit ja/nein
> beantwortet werden kann. Die Antwort solltest du dann aber
> begründen. Mach mal ...
>
> Gruß
> Dieter
>
Oh, mein Gott !
Du hast Recht Dieter, das ist ein fürchterlicher Satz 
Also, neuer Versuch:
Da mein mathematisches Vektor-Halbwissen noch nicht für ein klares "Ja" oder "Nein" ausreicht, formuliere ich mal ein vorsichtiges "ja" mit der Begründung:
Wenn [mm] a_1 \not= 0 [/mm] ist habe ich 3 Koeffizienten und das kann nicht nach [mm] \IR^2 [/mm] abgebildet werden.
(Dies mag jetzt ein grammatikalisch richtiger Satz sein, aber mathematischer Blödsinn - leider habe ich Abbildungen und Vektorraum noch nicht so ganz verstanden).
Vielleicht bekomme ich hier ja noch Klarheit.
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Fr 14.12.2007 | | Autor: | Zneques |
Also nochmal zusammengefasst :
Du hast ein Polynom [mm] p=a_2T^2+a_1T+a_0.
[/mm]
Dieses wird, egal welche Werte [mm] a_{2},a_{1},a_{0} [/mm] haben, auf [mm] \pmat{a_2\\a_0} [/mm] abgebildet.
Wenn nun [mm] a_{2}=a_{0}=0, [/mm] dann ist f(p)=0 und somit [mm] p\in [/mm] Kern(f).
D.h. [mm] Kern(f)=\{a_1T ; a_1\in\IR\}=L(T) [/mm] (das Polynom p=T ist also eine Basis des Kerns)
Nun zum Bild:
Das Bild ist eine Teilmenge der Menge in die abgebildet wird : [mm] Bild(f)\subseteq\IR^2
[/mm]
Und zwar besteht es aus allen möglichen Funtionswerten : [mm] Bild(f)=\{\pmat{a_2\\a_0}\in\IR^2 ; \exists p : f(p)=\pmat{a_2\\a_0}\}
[/mm]
Du musst dir dazu also überlegen welche Ergebnisse möglich sind. Dabei ist es egal welche Polynome man dafür braucht.
Es ist klar, dass man keine drei Koeffizienten "vollständig" nach [mm] \IR^2 [/mm] abbilden kann. Daher hat der Kern der Abbildung auch die Dimension 1. D.h. es geht quasi eine Dimension "verloren".
Was meinst du, welche Dimension das Bild haben wird ?
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Fr 14.12.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Zneques, (Se'qu'enz ?)
vielen Dank für Deine ausführliche Erklärung !
Also, neuer Versuch:
>
> Du musst dir dazu also überlegen welche Ergebnisse möglich
> sind. Dabei ist es egal welche Polynome man dafür braucht.
Ich denke, ich kann [mm] \IR^2 [/mm] komplett abbilden, da [mm] a_2 [/mm] und [mm] a_0 [/mm] beide [mm] \in \IR [/mm] sind.
>
> Es ist klar, dass man keine drei Koeffizienten
> "vollständig" nach [mm]\IR^2[/mm] abbilden kann. Daher hat der Kern
> der Abbildung auch die Dimension 1. D.h. es geht quasi eine
> Dimension "verloren".
> Was meinst du, welche Dimension das Bild haben wird ?
>
Was ist denn die Dimension von V ? Ist das 3, weil es [mm] T^0, T^1, T^2 [/mm] gibt ?
Und wenn das so ist, dann würde gelten:
[mm] dim(V) = dim(Kern(f))+dim(Bild(f)) [/mm], das bedeutet, die Dimension des Bildes ist 2 und eine Basis könnte [mm] \pmat{0\\1}, \pmat{1\\0} [/mm] sein.
Stimmt das ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Sa 15.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja ist richtig!
weil [mm] T^0, T^1, T^2 [/mm] eine Basis bilden!
Gruss leduart
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