Vektorraum Span Dimension Basi < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 So 07.01.2007 | | Autor: | Eisbude |
Hallo,
bitte versteht meine Frage nicht falsch. Für mich ist es jedenfalls elementar diese Lücke zu schließen.
Könnte mir bitte jemand anhand von bildlichen Beispielen den Zusammenhang von Span, Dimension und Basis eines Vektorraumes erklären?
Vielleicht auch die knüpfenden Zusammenhänge...
Danke vielmals!
Mfg, Eisbude
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 So 07.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du solltest mal die Suche benutzen - zu den Themen wurde schon einiges geschrieben...
aber mal so das Wesentliche, was mir jetzt einfällt:
also sei M eine Menge von Vektoren , dann ist span(M) der Raum, der durch die Vektoren in M aufgespannt wird (die Menge aller möglichen Linearkombinationen der Vektoren in M)
wenn diese Vektoren in M linear unabhängig sind, bilden sie sogar eine Basis des von ihnen aufgespannten Raumes.
Eine Basis B eines Vektorraumes V ist eine maximal linear unabhängige Vektorenmenge oder (was äquivalent ist) ein minimales Erzeugendensystem , also V=span(B) mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass B minimal bzgl der anzahl ist.
(also wenn man irgendeinen Vektor aus B entfernt wird nicht mehr ganz V aufgespannt)
zum Zusammenhang von Erzeugendensystem und Basis hab ich auch HIER schon etwas geschrieben, kann bestimmt nicht schaden zu lesen.
die Länge einer Basis ist die Dimension des Vektorraumes
(also die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren in einer Vektorenmenge M)
Man kann zeigen, dass alle Basen eines VRs gleich lang sind, also die Dimension nicht von der Wahl der Basis abhängt.
(eine Menge M kann aber durchaus länger sein als B und trotzdem span(M)=V gelten - dann sind die Vektoren in M eben nur nicht mehr linear unabhängig bzw minimal aufspannend, also einige Vektoren könnte man noch aus M streichen, so dass dennoch ganz V aufgespannt würde)
hoffe, dass ich schonmal helfen konnte - aber frag ruhig nach
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 So 07.01.2007 | | Autor: | Eisbude |
Danke dir!
Ja klar hab ich noch ne Frage dazu ;)
Ich habe 3 Vektoren gegeben und zwei Vektoren sind davon linear unabhängig und der dritte linear abhängig ( Beispiel aus deinem anderen Beitrag in dem Forum).
Wie kann ich errechnen, dass der dritte Vektor von den anderen beiden abhängt?
Und ich versteh immernoch nicht, wie der Span die Menge aller Linearkombinationen angibt? Und was ist die Dimension des Spans dann?
Mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 So 07.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo nochmal,
> Ich habe 3 Vektoren gegeben und zwei Vektoren sind davon
> linear unabhängig und der dritte linear abhängig ( Beispiel
> aus deinem anderen Beitrag in dem Forum).
> Wie kann ich errechnen, dass der dritte Vektor von den
> anderen beiden abhängt?
du suchst also eine Basis des Erzeugendensystems oder willst du wirklich alle darstellungen eines vektors bzgl der anderen suchen?
zu ersterem schau mal HIER, oder wenn du dir mal überlegst, dass das Bild einer linearen Abbildung das Erzeugnis der Spalten der Darstellungmatrix ist, dann ist es dieselbe Aufge, eine Basis des Bildes zu bestimmen, schau mal HIER oder als praktisches Beispiel : HIER
> Und ich versteh immernoch nicht, wie der Span die Menge
> aller Linearkombinationen angibt? Und was ist die Dimension
> des Spans dann?
das Erzeugnis ist einfach definiert als die Menge aller Linearkombination - es entsteht anschaulich also der Raum ,der durch die gegebenen Vektoren "aufgespannt" (in den LinKombies) wird.
Die Dimension des Erzeugnis ist die Länge einer Basis, also die Länge eines minimalen Erzeugnisses.
(also selbe Aufgabe wie oben : gegeben einige Vektoren, finde eine basis des Erzeugnisses)
viele Grüße
DaMenge
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