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| Aufgabe | Angenommen, [mm] \IF_{q} [/mm] ist ein Körper mit q [mm] \in \IN_{>0} [/mm] Elementen (z.B [mm] \IZ/q\IZ [/mm] falls q Primzahl) und n [mm] \in \IN_{>0}. [/mm]
Zeigen sie:
a) Die Anzahl der invertierbaren (n [mm] \times [/mm] n)-Matrizen mit Einträgen in [mm] \IF_{q} [/mm] ist [mm] $\#$GL(n,\IF_{q}) =\produkt_{k=0}^{n-1} (q^{n} -q^{k} [/mm] ).
b) Es gibt im Vektorraum [mm] (\IF_{q})^{n} [/mm] genau [mm] ((q^{n}-1)(q^{n}-q))/ [/mm] ((q²-1)(q²-q)) 2-dimensionale Untervektoräume. |
Hallo,
Ich werde aus dieser Aufgabe nicht schlau.
Finde keine Ansätze, noch weiß ich wo ich nachschauen sollte.
Es wäre echt sehr nett wenn mir jemand einen Ansatz posten könnte.
lg ConstantinJ
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Hi,
Ansatz zur a)
Welchen Eigenschaften müssen die Zeilen einer invertierbaren Matrix haben?
Wie viele Möglichkeiten gibt es die erste Zeile mit Einträgen aufzufüllen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die zweite Zeile?
für die b) benötigst du Aufgabe a). Kann man durch Abzählen lösen, wenn man berücksichtigt, dass ein k-dim VR durch k lin. unabhängig Vektoren aufgespannt wird. Die Anzahl ermittelt man analog zu a)
gruß
wieschoo
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