Vektorraum / Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Do 30.06.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo zusammen,
ich beziehe mich auf eine Frage, die vor kurzem hier bereits schonmal gestellt wurde. Nun wollte ich zur Sicherheit nochmal nachfragen, ob es wirklich immer ausreichend ist, einfach die Vektoren in Matrixform zu schreiben, Gauss-Elimination anzuwenden und dann zu pruefen, ob der Zeilenrang der entstehenden Matrix gleich dem Zeilenrang der urspruenglichen Matrix ist, also keine Zeilen "weggefallen" sind. (Falls Zeilen wegfallen, bilden die verbleibenden eine Basis.)
Ist das korrekt? Ich bin da etwas skeptisch, da in meinen Buechern steht, dass man 2 Dinge zeigen muss:
1) Lineaere Unabhaengigkeit
2) Dass die Menge der Vektoren ein Erzeugendensystem ist
Ist das beides mit der Gauss-Elimination gezeigt?
Viele Gruesse,
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Do 30.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Michael,
wenn du n Vektoren des $ [mm] \IR^n [/mm] $ hast und du diese zu der nxn Matrix A zusammenfasst, dann ist der Rang von A die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren.
Den Rang von A bestimmt man einfach durch die Gauß-Elimination.
denn der Rang ändert sich nicht bei solchen "elementaren" Umformungen.
was ist, wenn der Rang(A) < n ?
Dann sind nicht alle deine Vektoren linear unabhängig.
Wenn du nun aber n linear unabhängige Vektoren des $ [mm] \IR^n [/mm] $ hast, dann sind diese auch eine Basis - insbesondere auch ein Erzeugendensystem.
[Du weißt, dass diese n Vektoren einen n-dim. "Unter"raum des $ [mm] \IR^n [/mm] $ erzeugen und deshalb schon den ganzen $ [mm] \IR^n [/mm] $, denn würde es ein nicht-erzeugbaren Vektor v geben, wären die (n+1) Vektoren dann lin. unabhängig aber deine Basis hat ja nur Länge n]
Es reicht also aus, die lineare Unabhängigkeit von n Vektoren zu zeigen, wenn du weisst, dass sie aus einen n-dimensionalen Raum stammen, denn dann bilden sie eine Basis - dies wurde in dem anderen Thread implizit benutzt.
Wie du dies nun machst, ob mit Gauß oder anders, bleibt dir überlassen.
ich hoffe, dass ich die Frage richtig verstanden habe.
viele Grüße
DaMenge
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