Vektorraum = Unterraum: Beweis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo und guten Morgen,
gelte also [mm] V=X\cup [/mm] Y, [mm] \:\: X,Y\leq [/mm] V.
Annahme: [mm] V\neq [/mm] X.
Wähle ein [mm] y_0\in V\setminus [/mm] X, dann gilt also wegen [mm] V=X\cup [/mm] Y notwendigerweise [mm] y_0\in [/mm] Y.
Betrachte [mm] X+y_0:=\{x+y_0|x\in X\}. [/mm] Falls es [mm] x\in [/mm] X gábe mit [mm] x+y_0\in [/mm] X, so wäre [mm] y_0\in [/mm] X. Also sind all die Vektoren [mm] x+y_0ür ,\: x\in [/mm] X nicht in X, damit
liegen sie alle in Y.
Wenn aber [mm] x+y_0=:y_x\in [/mm] Y, so liegt auch [mm] x=y_x-y_0 [/mm] in Y als Differenz zweier Vektoren aus Y.
Damit gilt also [mm] X\subseteq [/mm] Y, und somit V=Y.
Gruss,
Mathias
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) auf die Sprünge helfen? :-(
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