matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGruppe, Ring, KörperVektorraum - Ring
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Vektorraum - Ring
Vektorraum - Ring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Vektorraum - Ring: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:59 Fr 24.11.2006
Autor: VHN

Aufgabe
Sei [mm] (\bruch{-1-1}{\IC}) [/mm] = [mm] \IC [/mm] 1 [mm] \oplus \IC [/mm] i [mm] \oplus \IC [/mm] j [mm] \oplus \IC [/mm] k ein Vektorraum der Dimensiion 4 mit Basis 1,i,j,k.
Zeige, dass dieser Vektorraum zu einem Ring wird, indem man die Produkte der Basiselemente wie folgt festlegt:
i1=1i=i;
j1=1j=j;
[mm] i^{2}=-1; [/mm]
[mm] j^{2}=-1; [/mm]
ij=-ij=k
und dies zu einer Multiplikation auf dem Gesamtraum linear fortsetzt.
Gebe einen Ringisomorphismus an.
[mm] (\bruch{-1-1}{\IC}) \to M_{2}(\IC) [/mm] isomorph



Hallo leute!

Ich habe bei dieser aufgabe sehr große Porbleme sie überhaupt zu verstehen.

Wie kann ich "dies zu einer multiplikation auf dem gesamtraum linear fortsetzen"?
Ich verstehe nicht genau, was ich hier machen soll.
könnt ihr mir erklären, wie ich bei dieser aufgabe vorgehen soll?

Könnt ihr mir bitte helfen, einen geeigneten Ringisomorphismus zu finden?

danke für eure hilfe!

VHN


        
Bezug
Vektorraum - Ring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:22 So 26.11.2006
Autor: felixf

Hallo VHN!

> Sei [mm](\bruch{-1-1}{\IC})[/mm] = [mm]\IC[/mm] 1 [mm]\oplus \IC[/mm] i [mm]\oplus \IC[/mm] j
> [mm]\oplus \IC[/mm] k ein Vektorraum der Dimensiion 4 mit Basis
> 1,i,j,k.
>  Zeige, dass dieser Vektorraum zu einem Ring wird, indem
> man die Produkte der Basiselemente wie folgt festlegt:
>  i1=1i=i;
> j1=1j=j;
> [mm]i^{2}=-1;[/mm]
>  [mm]j^{2}=-1;[/mm]
>  ij=-ij=k
> und dies zu einer Multiplikation auf dem Gesamtraum linear
> fortsetzt.
>  Gebe einen Ringisomorphismus an.
>  [mm](\bruch{-1-1}{\IC}) \to M_{2}(\IC)[/mm] isomorph
>  
>
>
> Hallo leute!
>  
> Ich habe bei dieser aufgabe sehr große Porbleme sie
> überhaupt zu verstehen.
>  
> Wie kann ich "dies zu einer multiplikation auf dem
> gesamtraum linear fortsetzen"?
>  Ich verstehe nicht genau, was ich hier machen soll.
>  könnt ihr mir erklären, wie ich bei dieser aufgabe
> vorgehen soll?

Also, mal ein Beispiel: Wenn du die komplexen Zahlen definierst, kannst du das so aehnlich machen: Du sagst, dass [mm] $\IC [/mm] = 1 [mm] \IR \oplus [/mm] i [mm] \IR$ [/mm] ist, und du legst fest, dass $1 i = i 1= i$ ist, und dass [mm] $i^2 [/mm] = -1$ ist. Und dann setzt du das linear auf [mm] $\IC$ [/mm] fort.

Sprich: Wenn du zwei Elemente $a 1 + b i, c 1 + d i [mm] \in \IC$ [/mm] hast, dann ist $(a 1 + b i) (c 1 + d i) = a c 1 1 + a d 1 i + b c i 1 + b d [mm] i^2 [/mm] = a c 1 + a d i + b c i + b d (-1) = (a c - b d) 1 + (a d + b c) i$.

> Könnt ihr mir bitte helfen, einen geeigneten
> Ringisomorphismus zu finden?

Du brauchst drei Matrizen $I$, $J$ und $K$ in [mm] $M_2(\IC)$, [/mm] die linear unabhaengig ueber [mm] $\IC$ [/mm] sind (und auch von $1$, der Einheitsmatrix), und die die obigen Relationen erfuellen, also etwa [mm] $I^2 [/mm] = [mm] J^2 [/mm] = [mm] K^2 [/mm] = -1$, $I J = -J I = K$. Wenn du das hast, ist es einfach (wenn du nicht drauf kommst, frag nochmal nach).

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Vektorraum - Ring: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:12 So 26.11.2006
Autor: Binie

Hi Felix

Also ich bearbeite die selbe Aufgabe und ich glaube ich habe die gesuchten Matrizen, die alle Bedingungen erfüllen, kannst du da man einen Blick drauf werfen?

1 = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm]
i = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } [/mm]
j = [mm] \pmat{ 0 & i \\ i & 0 } [/mm]
k = [mm] \pmat{ i & 0 \\ 0 & -i } [/mm]

Wenn diese richtig sind, wie verfahre ich dan weiter? wie kann ich damit einen Ringiso angeben? Habe auch so meine Probleme beim verstehen der Aufgabe.

Danke schon mal   Binie

Bezug
                        
Bezug
Vektorraum - Ring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:47 Mo 27.11.2006
Autor: felixf

Hallo Binie,

> Also ich bearbeite die selbe Aufgabe und ich glaube ich
> habe die gesuchten Matrizen, die alle Bedingungen erfüllen,
> kannst du da man einen Blick drauf werfen?
>  
> 1 = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  i = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }[/mm]
>  
> j = [mm]\pmat{ 0 & i \\ i & 0 }[/mm]
>  k = [mm]\pmat{ i & 0 \\ 0 & -i }[/mm]

sehen richtig aus. Wenn ich mich nicht in Maple vertippt hab ;-)

> Wenn diese richtig sind, wie verfahre ich dan weiter? wie
> kann ich damit einen Ringiso angeben? Habe auch so meine
> Probleme beim verstehen der Aufgabe.

Du musst einen Isomorphismus zwischen zwei 4-dimensionalen [mm] $\IC$-Vektorraeumen [/mm] angeben, der zusaetzlich auch noch deren Ringstruktur beruecksichtigt. Du musst also ein Element $x + i y + j z + k w$ mit $x, y, z, w [mm] \in \IC$ [/mm] auf etwas der Form [mm] $\lambda_1 [/mm] 1 + [mm] \lambda_2 [/mm] I + [mm] \lambda_3 [/mm] J + [mm] \lambda_4 [/mm] K$ mit [mm] $\lambda_1, \dots \lambda_4 \in \IC$ [/mm] abbilden. Eine Idee fuer diese Abbildung solltest du haben ;-)

Um dann zu zeigen, dass es ein Ringmorphismus ist, musst du halt die Ringmorphismusaxiome nachrechnen. Aber das ist dann einfach, da du die Matrizen $1, I, J, K$ passend gewaehlt hast.

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Vektorraum - Ring: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:09 Mo 27.11.2006
Autor: VHN

Hallo felix!

Danke für deine Hilfe!
Könntest du mir aber vllt helfen diesen gesuchten Ringisomorphismus zu definieren. ich komme einfach nicht drauf.
wie kann die matrizen K, I, J passend wählen? wie mache ich das?

ich hoffe, du kannst mir weiterhelfen.

vielen vielen dank!

VHN

Bezug
                                        
Bezug
Vektorraum - Ring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Mi 29.11.2006
Autor: felixf

Hallo VHN!

> Danke für deine Hilfe!
>  Könntest du mir aber vllt helfen diesen gesuchten
> Ringisomorphismus zu definieren. ich komme einfach nicht
> drauf.
>  wie kann die matrizen K, I, J passend wählen? wie mache
> ich das?

Die Matrizen $K, I, J$ hast du doch schon. Bilde doch einfach [mm] $\alpha [/mm] 1 + [mm] \beta [/mm] i + [mm] \gamma [/mm] j + [mm] \delta [/mm] k$ (hier ist die $1$ das Element aus [mm] $(\bruch{-1-1}{\IC})$) [/mm] auf [mm] $\alpha [/mm] 1 + [mm] \beta [/mm] I + [mm] \gamma [/mm] J + [mm] \delta [/mm] K$ (hier ist die $1$ die Einheitsmatrix) ab.

LG Felix


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]