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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Di 15.04.2008 | | Autor: | kittycat |
| Aufgabe | Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen C mit Basis [mm] e_{1}, [/mm] ... , [mm] e_{n}.
[/mm]
Zeige:
(a)Betrachtet man die Multiplikation von Vektoren x [mm] \in [/mm] V mit Zahlen a [mm] \in [/mm] C mur für reelle a, so ist V ein Vektorraum über den reellen Zahlen R der Dimension 2n, und [mm] e_{1}, ie_{1}, e_{2}, ie_{2}, [/mm] ... [mm] e_{n}, ie_{n} [/mm] ist eine R-Basis von V.
(b) Die durch diese R-Basis definierte Orientierung des R-Vektorraumes V ist unabhängig von der Wahl der C-Basis [mm] e_{1}, [/mm] ... , [mm] e_{n}.
[/mm]
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Hallo Mathefreunde,
wie gehe ich an diese Aufgabe ran bzw. wie beweise ich dieses theoretische Zeug? So vom Verständnis, was das bedeutet, glaube ich habe ich keine Probleme:
Ich muss ja hierfür a*x betrachten, mit x [mm] \in [/mm] V und [mm] a\in [/mm] C (reell)
[mm] \Rightarrow [/mm] V Vektorraum über reellen Zahlen R mit dim(V)=2n
[mm] e_{1}, ie_{1}, e_{2}, ie_{2}, [/mm] ... [mm] e_{n}, ie_{n} [/mm] R-Basis von V
/was ist eine R-Basis? was kann ich mir darunter vorstellen?
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Hi,
> Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über den komplexen
> Zahlen C mit Basis [mm]e_{1},[/mm] ... , [mm]e_{n}.[/mm]
> Zeige:
>
> (a)Betrachtet man die Multiplikation von Vektoren x [mm]\in[/mm] V
> mit Zahlen a [mm]\in[/mm] C mur für reelle a, so ist V ein
> Vektorraum über den reellen Zahlen R der Dimension 2n, und
> [mm]e_{1}, ie_{1}, e_{2}, ie_{2},[/mm] ... [mm]e_{n}, ie_{n}[/mm] ist eine
> R-Basis von V.
>
> (b) Die durch diese R-Basis definierte Orientierung des
> R-Vektorraumes V ist unabhängig von der Wahl der C-Basis
> [mm]e_{1},[/mm] ... , [mm]e_{n}.[/mm]
>
> Hallo Mathefreunde,
>
> wie gehe ich an diese Aufgabe ran bzw. wie beweise ich
> dieses theoretische Zeug? So vom Verständnis, was das
> bedeutet, glaube ich habe ich keine Probleme:
>
> Ich muss ja hierfür a*x betrachten, mit x [mm]\in[/mm] V und [mm]a\in[/mm] C
> (reell)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] V Vektorraum über reellen Zahlen R mit
> dim(V)=2n
> [mm]e_{1}, ie_{1}, e_{2}, ie_{2},[/mm] ... [mm]e_{n}, ie_{n}[/mm] R-Basis
> von V
>
> /was ist eine R-Basis? was kann ich mir darunter
> vorstellen?
D.h. du kannst jedes $v [mm] \in [/mm] V$ mit einer Linearkombination aus Vektoren aus diesem [mm] $\IR$-Basis [/mm] mit reellen Koeffizienten darstellen. Wenn du das zeigst, dann hast du (a) bewiesen. Also zeige, dass
1. [mm] $e_1, ie_1,\cdots,e_n, ie_n$ [/mm] ist ein erzeugendes System von $V$, und
2. [mm] $e_1, ie_1,\cdots,e_n, ie_n$ [/mm] ist linear unabhängig.
Für b) fällt mir momentan nicht viel auf, aber wenn man von Orientierung redet, dann ist die Determinante meistens im Spiel!
Gruss,
logarithmus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Di 15.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Logarithmus,
> D.h. du kannst jedes [mm]v \in V[/mm] mit einer Linearkombination
> aus Vektoren aus diesem [mm]\IR[/mm]-Basis mit reellen Koeffizienten
> darstellen. Wenn du das zeigst, dann hast du (a) bewiesen.
> Also zeige, dass
> 1. [mm]e_1, ie_1,\cdots,e_n, ie_n[/mm] ist ein erzeugendes System
> von [mm]V[/mm], und
> 2. [mm]e_1, ie_1,\cdots,e_n, ie_n[/mm] ist linear unabhängig.
Mmmmh, also irgendwie bin ich von diesem Lösungsansatz nicht so überzeugt. Muss ich nicht eher zeigen, dass die Dimension von dem neuen V, was natürlich aus den Linearkombinationen besteht, gleich 2n ist und das [mm]e_1, ie_1,\cdots,e_n, ie_n[/mm] eine Basis von diesem Vektorraum ist?
Es geht hier ja auch um einen komplexen Vektorraum...
Und wenn man es so zeigen kann, wie soll ich mit diesen Angaben aus der Aufgabe zeigen, dass es ein Erzeugendensystem ist?
Lg Kittycat
p.s.: Trotzdem vielen, vielen Dank für deine Antwort und Idee
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Hi,
> Hallo Logarithmus,
>
> > D.h. du kannst jedes [mm]v \in V[/mm] mit einer Linearkombination
> > aus Vektoren aus diesem [mm]\IR[/mm]-Basis mit reellen Koeffizienten
> > darstellen. Wenn du das zeigst, dann hast du (a) bewiesen.
> > Also zeige, dass
> > 1. [mm]e_1, ie_1,\cdots,e_n, ie_n[/mm] ist ein erzeugendes
> System
> > von [mm]V[/mm], und
> > 2. [mm]e_1, ie_1,\cdots,e_n, ie_n[/mm] ist linear unabhängig.
>
> Mmmmh, also irgendwie bin ich von diesem Lösungsansatz
> nicht so überzeugt. Muss ich nicht eher zeigen, dass die
> Dimension von dem neuen V, was natürlich aus den
> Linearkombinationen besteht, gleich 2n ist und das [mm]e_1, ie_1,\cdots,e_n, ie_n[/mm]
> eine Basis von diesem Vektorraum ist?
> Es geht hier ja auch um einen komplexen Vektorraum...
>
>
> Und wenn man es so zeigen kann, wie soll ich mit diesen
> Angaben aus der Aufgabe zeigen, dass es ein
> Erzeugendensystem ist?
>
Also ich skizziere die Beweisidee einfach, und überlasse dir den formalen Beweis:
Beweisidee:
[mm] $(e_1,\cdots,e_n)$ [/mm] ist eine Basis des [mm] $\IC$-Vektorraumes [/mm] $V$ (das ist bereits gegen in der Aufgabenstellung), d.h. $v [mm] \in [/mm] V$ kann man eindeutig darstellen als $v = [mm] z_1 v_1 [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + [mm] z_n e_n$ [/mm] mit [mm] $z_i \in \IC$. $z_i [/mm] = [mm] x_i [/mm] + [mm] i\cdot y_i$ [/mm] mit [mm] $x_i [/mm] , [mm] y_i \in \IR$ [/mm] , also ist die obige eindeutige Darstellung von $v$ die folgende (eindeutige) [mm] $\IR$-Linearkombination:
[/mm]
$v = [mm] (x_1 [/mm] + [mm] i\cdot y_1) v_1 [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + [mm] (x_n [/mm] + [mm] i\cdot y_n) e_n [/mm] = [mm] x_1 e_1+ y_1 [/mm] i [mm] e_1 [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + [mm] x_n e_n [/mm] + [mm] y_n [/mm] i [mm] e_n$, [/mm] und damit ist [mm] $(e_1,\ [/mm] i [mm] e_1,\cdots,e_n, [/mm] i [mm] e_n)$ [/mm] ein linear unabhängiges (warum?!) erzeugendes System von dem Vektorraum $V$, und damit eine Basis von dem Vektorraum $V$. Daher ist [mm] $dim_{\IR} [/mm] V = 2n = $ Länge der neuen Basis.
Das ist die Beweisidee, die musst du dann um evtl. einiges ergänzen.
Gruss,
logarithmus
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Hallo,
wow, .... dankeschön, das hast du echt gut erklärt. Jetzt hab ich es, glaube ich, geblickt.
Also, könnte ich die Aufgabe dann so lösen, oder muss ich es noch mehr ausführen?!?
Vn-dimensionaler VR über komplexen Zahlen C mit Basis [mm] e_{1}, [/mm] ... , [mm] e_{n}
[/mm]
[komplexe Zahl: z= x + i y
[mm] \Rightarrow [/mm] Jedes x [mm] \in [/mm] V kann so dargestellt werden:
x = [mm] z_{1}e_{1} [/mm] + ... + [mm] z_{n}e_{n}
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{n} z_{i}e_{i}
[/mm]
Multiplikation von Vektoren x [mm] \in [/mm] V mit reellen Zahlen a [mm] \in [/mm] C:
a [mm] \summe_{i=1}^{n} z_{i}e_{i} [/mm]
= a [mm] z_{1}e_{1} [/mm] + ... + a [mm] z_{n}e_{n}
[/mm]
= a [mm] (x_{1} [/mm] + i [mm] y_{1})e_{1} [/mm] + ... + a [mm] (x_{n} [/mm] + i [mm] y_{n})e_{n}
[/mm]
= a [mm] x_{1} e_{1} [/mm] + a [mm] y_{1} [/mm] i [mm] e_{1} [/mm] + ... + a [mm] x_{n} e_{n} [/mm] + a [mm] y_{n} [/mm] i [mm] e_{n}
[/mm]
= a [mm] x_{1} e_{1} [/mm] + ... + a [mm] x_{n} e_{n} [/mm] + a [mm] y_{1} [/mm] i [mm] e_{1} [/mm] + ... + a [mm] y_{n} [/mm] i [mm] e_{n}
[/mm]
= a [mm] \summe_{j=1}^{n} x_{j}e_{j} [/mm] + a [mm] \summe_{j=1}^{n} x_{j} [/mm] i [mm] e_{j}
[/mm]
Und damit sieht man ja dann auch, dass der neue Vektorraum V über den reellen Zahlen [mm] \IR [/mm] (mit a [mm] \in \IR, [/mm] x [mm] \in \IR, [/mm] y [mm] \in \IR) [/mm] ist, mit der Basis [mm] {e_{1}, ... , e_{n}, i e_{1}, ... , i e_{n}}, [/mm] die ja dann doppelt so groß ist, wie die vorherige Basis und deshalb ist die Dimension von V gleich 2n.
Reicht das als Beweis?!? Ich wüsste nämlich sonst nicht wirklich wie ich das Erzeugendensystem und die Lineare Unabhängigkeit genau beweisen soll. Denn an meiner Aufstellung des Vektors v [mm] \in [/mm] in V sieht man ja schon dass der Vektorraum von der Basis aufgespannt wird und bei der Linearen Unabhängigkeit müsste ich ja dann nur noch zeigen:
a [mm] z_{1}e_{1} [/mm] + ... + a [mm] z_{n}e_{n} [/mm] = 0
nur dann, wenn a = 0 bzw. [mm] z_{1} [/mm] = ... = [mm] z_{n} [/mm] =0.
Um Teilaufgabe (ii) lösen zu können, muss ich ja zeigen, dass die Determinante der Basiswechselmatrix [mm] \ge [/mm] 0 ist, bzw. hier gilt ja
[mm] e_{j} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} a_{jk} [/mm] i [mm] f_{j}
[/mm]
[mit [mm] e_{j} [/mm] = [mm] e_{1}, [/mm] ... , [mm] e_{n} [/mm] und [mm] f_{j} [/mm] = i [mm] e_{1}, [/mm] ... , i [mm] e_{n}
[/mm]
Nur wenn det [mm] (a_{jk})>0 [/mm] ist, dann hat es diesselbe Orientierung und ist unabhängig von der Wahl der C-Basis.
Stimmt es so?
Lg Kittycat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 18.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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