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W sei der Vektorraum der symmetrischen 2x2-Matrizen. Zeigen Sie, dass B={ [mm] \pmat{ 1 & -2 \\ -2 & 1 };\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 3 }; \pmat{ 4 & -1 \\ -1 & -5 }}eine [/mm] Basis von W ist und geben Sie die
Koordinaten der Matrix [mm] A=\pmat{ 4 & -11 \\ -11 & -7 }bzgl. [/mm] der Basis B an.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen, wie ich diese Aufgabe löse? Weiß irgendwie nicht, wie ich das mit den 2x2-Matrizen machen soll.
Schonmal vielen Dank.
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Hallo,
man kann Deine Matrizen nicht lesen.
Durch Klick auf "eigenen Artikel bearbeiten" (o.ä.) kannst Du Deinen eigenen Artikel bearbeiten.
Bei den Eingabehilfen unterhalb des Eingabefensters findest Du auch die Möglichkeit, Matrizen darzustellen.
Zur Lösung der Aufgabe:
zu zeigen ist, daß Du mit den gegebenen Matrizen jede Matrix der Form [mm] \pmat{a & b \\ b & c } [/mm] durch Linearkombination erzeugen kannst, und daß die Matrizen linear unabhängig sind.
Kennst Du aus der Vorlesung bereits die Dimension des fraglichen Raumes, so kannst Du Dich auf die lineare Unabhängigkeit beschränken..
Gruß v. Angela
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reicht das dann, wenn ich schreibe, dass B eine Basis von W ist, da alle symmetrischen 2x2-Matrizen mit den Vektoren [mm] b_{1},b_{2} [/mm] und [mm] b_{3} [/mm] dargestellt werden können und weil sie ein linear unabhängiges Erzeugendensystem darstellen.
Wie zeige ich den zweiten Teil der Aufgabe?
Weiß nur wenn ich einen Vektor wie z.B. [mm] \vektor{1 \\ 2 \\3 } [/mm] habe.
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> reicht das dann, wenn ich schreibe, dass B eine Basis von W
> ist, da alle symmetrischen 2x2-Matrizen mit den Vektoren
> [mm]b_{1},b_{2}[/mm] und [mm]b_{3}[/mm] dargestellt werden können und weil
> sie ein linear unabhängiges Erzeugendensystem darstellen.
Hallo,
nein, das einfach so hinzuschreiben, das reicht nicht. Du mußt vorrechnen, daß es so ist, wie Du sagst.
Du kannst es so machen:
Sei M eine symmetrische 2x2-Matrix über [mm] \IR.
[/mm]
Dann hat M die Gestalt M:= $ [mm] \pmat{a & b \\ b & c } [/mm] $ mit [mm] a,b,c\in \IR.
[/mm]
Es ist [mm] \pmat{a & b \\ b & c } [/mm] = (...)* [mm] \pmat{ 1 & -2 \\ -2 & 1} [/mm] + [mm] (...)*\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 3}+ (...)*\pmat{ 4 & -1 \\ -1 & -5 }, [/mm] also ist B ein Erzeugendensystem von W.
Was bei (...) jeweils hinkommt, kannst Du ausrechen, indem Du die Matrizen komponentenweise anschaust.
Für die lineare Unabhängigkeit rechnest Du dann (genau wie ei Spaltenvektoren) vor, daß aus Nullmatrix=a* [mm] \pmat{ 1 & -2 \\ -2 & 1} +b*\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 3}+c\pmat{ 4 & -1 \\ -1 & -5 } [/mm] folgt, daß a=b=c=0.
Hierfür mußt Du auch wieder die Matrizen komponentenweise betrachten.
> Wie zeige ich den zweiten Teil der Aufgabe?
> Weiß nur wenn ich einen Vektor wie z.B. [mm]\vektor{1 \\ 2 \\3 }[/mm]
> habe.
Hier berechnest Du die a,b,c mit [mm] \pmat{ 4 & -11 \\ -11 & -7 }=a* \pmat{ 1 & -2 \\ -2 & 1} +b*\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 3}+c\pmat{ 4 & -1 \\ -1 & -5 }.
[/mm]
Die Koordinaten von [mm] \pmat{ 4 & -11 \\ -11 & -7 } [/mm] bzgl. B sind dann [mm] \vektor{a \\ b\\c}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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was heißt komponentenweise? Kannst du mir ein Beispiel geben?
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> was heißt komponentenweise? Kannst du mir ein Beispiel
> geben?
Wenn ich [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }=a\pmat{ 5 & 6 \\ 7 & 8 }+b\pmat{ 9 & 1 \\ 2 & 3} =\pmat{ 5a+9b & 6a+1b \\ 7a+2b & 8a+3b } [/mm] lösen möchte, ergibt der Vergleich der komponenten
1=5a+9b
2=6a+1b
3=7a+2b
4=8a+3b.
Dieses Gleichungssystem würde ich nun versuchen zu lösen.
Gruß v. Angela
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