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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:43 Mi 19.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hallo
Ich hab folgende Aufgabe:
Wir betrachten den [mm] \IR-Vektorraum [/mm] V aller Folgen [mm] (an)_{n \in \IN} [/mm] reeller Zahlen an. Entscheiden
Sie in jedem der folgenden Fälle, ob die betreffende Teilmenge einen Unterraum
bildet.
(1) U1 := {(an) [mm] \in [/mm] V | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(an) [/mm] = 0}
(2) U2 := {(an) [mm] \in [/mm] V | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(an) [/mm] = 1}
(3) U3 := {(an) [mm] \in [/mm] V | [mm] \forall \in \IN [/mm] : an [mm] \not= [/mm] 1}
(4) U4 := {(an) [mm] \in [/mm] V | (an) konvergiert}
(5) U5 := {(an) [mm] \in [/mm] V | [mm] \existsn_{0} \in \IN [/mm] : an = [mm] a_{n+1} [/mm] für n [mm] \ge n_{0}}.
[/mm]
Kann mir jemand erklären wie das funktioniert?
Ich hab irgendwie kein plan...
mfg
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Mi 19.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo Thomas
ihr habt vermutlich in der vorlesung irgendwelche untervektorraum kriterien angegeben? diese musst du einfach hier nachrechen. in der regel sind diese, dass die menge nicht leer ist, sowie dass mit zwei elementen auch deren summe und alle skalaren vielfachen drinliegen. schaue am besten mal nach!
betrachte z.b. dein [mm] $U_2$. [/mm] wenn du zwei folgen hast, die gegen $1$ konvergieren, sagen wir z.b. [mm] $(a_n) [/mm] = [mm] \left( 1 +\frac{1}{n} \right)$ [/mm] und [mm] $(b_n) [/mm] = [mm] \left(1 - \frac{1}{n^2} \right)$, [/mm] gilt dann dass die summe [mm] $(a_n [/mm] + [mm] b_n) [/mm] = [mm] \left( 2 + \frac{n - 1}{n^2} \right) [/mm] $ auch gegen $1$ konvergiert? offensichtlich ja nicht. damit ist widerlegt, dass [mm] $U_2$ [/mm] ein untervektorraum ist.
bedenke aber: wenn du zeigen willst, dass etwas ein unterraum ist, so musst du die kriterien im allgemeien nachrechnen!
also musst du bei [mm] $U_1$ [/mm] z.b. zeigen, dass die summe zweier gegen null konvergenter folgen wieder gegen null konvergente folge ist und dass für ein beliebiges [mm] $\lambda \in \mathbb{R}$ [/mm] und eine nullfolge [mm] $(a_n)$ [/mm] auch [mm] $(\lambda a_n)$ [/mm] wieder eine nullfolge ist.
grüße
andreas
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