Vektorräume und Untervektorräu < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Mo 10.11.2008 | | Autor: | beni86 |
| Aufgabe | | Weisen sie nach, dass [mm] \IC [/mm] ein [mm] \IR-Vektoraum [/mm] ist |
hab leider keinen ansatz für nen Nachweis. Kann mir da jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Mo 10.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ein bissel was musst du schon selbst tun!
1.Wie ist ein Vektorraum definiert.? (notfalls nachsehen)
2. Wenn du das nachgelesen hast oder weisst: was musst du von den Elementen [mm] z\in \IC [/mm] zeigen?
Dann sag uns, welcher Teil dir dabei Schwierigkeiten macht!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mo 10.11.2008 | | Autor: | beni86 |
Zu 1:
Def Vektorraum
1. [mm] q(p\vec{a}) [/mm] = [mm] (q\vec{a})p
[/mm]
2. [mm] (q+p)\vec{a} [/mm] = [mm] q\vec{a}+p\vec{a}
[/mm]
3. [mm] p(\vec{a}+\vec{b}) [/mm] = [mm] p\vec{a}+p\vec{b}\
[/mm]
4. [mm] 1*\vec{a} [/mm] = [mm] \vec{a}
[/mm]
Das vesteh ich schon aber wie hilft mir das zur lösung der aufgabe?
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> Zu 1:
> Def Vektorraum
> 1. [mm]q(p\vec{a})[/mm] = [mm](q\vec{a})p[/mm]
Nein, sondern [mm] ...=(qp)\vec{a}
[/mm]
> 2. [mm](q+p)\vec{a}[/mm] = [mm]q\vec{a}+p\vec{a}[/mm]
> 3. [mm]p(\vec{a}+\vec{b})[/mm] = [mm]p\vec{a}+p\vec{b}\[/mm]
> 4. [mm]1*\vec{a}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm]
> Das vesteh ich schon aber wie hilft mir das zur lösung der
> aufgabe?
Hallo,
Deine Definition ist zu knapp und zu ungenau. Es muß hier z.B. die Multiplikation im Körper und die mit Skalaren gründlich unterschieden werden. Schau z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier.
Ein Vektorraum hat ja folgende Zutaten: eine Menge V, einen Körper K, eine Verknüpfung [mm] \oplus, [/mm] die aus zwei Elementen aus V ein neues Element aus V macht, eine Multiplikation [mm] \odot, [/mm] welche ein Körperelement mit einem aus V zu einem neuen Element aus V verknüpft.
All dies muß für "Vektorraum" bestimmten Regeln folgen:
(V, + ) muß eine abelsche Gruppe sein,
und dann müssen noch die Gesetze gelten, die Du aufschreibst.
In dem Beispiel, welches Du lösen sollst, ist [mm] V:=\IC [/mm] und der Körper [mm] \IR, [/mm] die Addition und Multiplikation wie gewohnt.
Falls Ihr in der Vorlesung nicht gezeigt habt, daß [mm] (\IC, [/mm] +) eine abelsche Gruppe ist, mußt Du das noch tun.
Ich beschränke mich zunächst auf die Distributivgesetze.
Für das, was bei Dir oben als [mm] \vec{a} [/mm] steht, sind Elemente aus [mm] \IC [/mm] einzusetzen.
Für 1. mußt Du folgendes zeigen:
Für alle [mm] a\in \IC [/mm] und für alle [mm] p,q\in \IR [/mm] gilt q*(p*a)=(qp)*a.
Beweis: sei [mm] a\in \IC. [/mm] dann gibt es [mm] a_1, a_2 \in \IR [/mm] mit [mm] a=a_1+ [/mm] a_2i.
Es ist q*(p*a)= [mm] q*(p*(a_1+ [/mm] a_2i))= ... = ... = [mm] (qp)*(a_1+ [/mm] a_2i)=(qp)*a.
In demselben Stiele dann auch die anderen.
Gruß v. Angela
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