Vektorräume/lineare Unterräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 So 12.11.2006 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | Es seien [mm] U_{1};U_{2} [/mm] lineare Unterräume und Teilmenge von V, wobei V= ein R-Vektorraum. Zeige:
Die beiden Aussagen sind äquivalent:
a) für jedes x aus V gibt es eindeutig bestimmte [mm] u_{1} [/mm] aus [mm] U_{1} [/mm] und [mm] u_{2} [/mm] aus [mm] U_{2} [/mm] mit [mm] x=u_{1}+u_{2}
[/mm]
b) [mm] U_{1}+U_{2}=V [/mm] und [mm] U_{1} \cap U_{2}=\{0\}
[/mm]
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Hallo,
ich habe die Aussage zuerst in die eine Richtung bewiesen dann in die andere, denn es ist ja ein Äquivalenzbeweis also muss ich ja beide Richtungen zeigen. Ich möchte eigentlich nur, dass mal jemand drüberschaut, weil ich mir hier wirklich nicht sicher bin, ob mein Beweis überhaupt einer ist!
Also zuerst zeige ich, dass Aussage b) aus a) folgt. Ich nehme also an es seien [mm] U_{1};U_{2} [/mm] lineare Unterräume und Teilmenge von V, wobei V= ein R-Vektorraum. Und das gilt: für jedes x aus V gibt es eindeutig bestimmte [mm] u_{1} [/mm] aus [mm] U_{1} [/mm] und [mm] u_{2} [/mm] aus [mm] U_{2} [/mm] mit [mm] x=u_{1}+u_{2}.
[/mm]
zu Zeigen ist also: [mm] U_{1}+U_{2}=V [/mm] und [mm] U_{1} \cap U_{2}=\{0\}
[/mm]
Beweis:
Aus der Voraussetzung folgt dann: [mm] u_{n+1}+u_{k+1}=x_{l+1} [/mm] für alle n,k,l [mm] \in \IN. [/mm] Daraus folgt: [mm] x_{1},...x_{l+1} \in [/mm] V. Da [mm] \IN [/mm] unendlich ist, ist somit auch V unendlich und somit der [mm] \IR^{n} [/mm] Vektorraum V. Daraus folgt also: [mm] x=u_{n}+u_{k}=\{x \in \IR^{n} : u_{n} \in U_{1} , u_{k} \in U_{2} ; n,k \in \IN \} [/mm] = V .Daraus folgt also: [mm] U_{1}+U_{2}=V
[/mm]
zweiter Teil:
Da [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] lineare Unterräume sind gilt auch: [mm] \{0\} \in U_{1} [/mm] und [mm] \{0\} \in U_{2}, [/mm] sonst wären sie keine linearen Unterräume.
Da auch alle [mm] u_{1} [/mm] und [mm] u_{2} [/mm] eindeutig bestimmt sind laut Voraussetzung gilt: [mm] U_{1}+U_{2}=\{x \in \IR^{n} : x \in U_{1} , x \in U_{2}\}=V
[/mm]
daraus folgt: [mm] U_{1} \cap U_{2}=\{0\}, [/mm] da ja die 0 in beiden Unterräumen sein muss aber alle anderen vektoren eindeutig bestimmt sind und somit alle verschieden sind, also [mm] u_{1} \not= u_{2}.
[/mm]
Nun die andere Richtung.
Ich nehme also an: [mm] U_{1}+U_{2}=V [/mm] und [mm] U_{1} \cap U_{2}=\{0\}
[/mm]
zu Zeigen: für jedes x aus V gibt es eindeutig bestimmte [mm] u_{1} [/mm] aus [mm] U_{1} [/mm] und [mm] u_{2} [/mm] aus [mm] U_{2} [/mm] mit [mm] x=u_{1}+u_{2}.
[/mm]
Beweis:
Da [mm] V=U_{1}+U_{2}=\{x \in \IR^{n} : x=u_{1}+u_{2} ; u_{1} \in U_{1} ; u_{2} \in U_{2}\} [/mm] und da [mm] U_{1} \cap U_{2}=\{0\} [/mm] ist jedes [mm] u_{1} [/mm] aus [mm] U_{1} [/mm] und [mm] u_{2} [/mm] aus [mm] U_{2} [/mm] schon eindeutig bestimmt und gilt also für jedes x [mm] \in [/mm] V: [mm] x=u_{1}+u_{2} [/mm] mit [mm] u_{1} [/mm] aus [mm] U_{1} [/mm] und [mm] u_{2} [/mm] aus [mm] U_{2} [/mm] .
Dies sind also die zwei Teile meines Beweises. Falls es sich hier überhaupt um einen Beweis handelt!!??
Es wäre nett, wenn jemand mal drüber schaun könnte und mir sagen könnte was nicht passt, muss es morgen nämlich abgeben! Ansonsten würde ich es wohl so abgeben, da mir nichts anderes einfällt im Moment.
Gruß und Danke,
clwoe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 So 12.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
so ganz konnte ich den Beweis nicht nachvollziehen. Ich zeige Dir mal wie ich es gemacht hätte:
I) Aus a folgt b
Da [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] Unterräume von V sind folgt [mm] U_1\cup{U_2}\subset{V}.
[/mm]
Sei [mm] x\in{V} [/mm] und gilt [mm] x=u_1+u_2 [/mm] mit [mm] u_i\in{U_i} [/mm] i=1,2 also ist [mm] V\subset {U_1} \cup {U_2} [/mm] und damit gilt [mm] U_1 \cup U_2=V
[/mm]
Angenommen es ex ein [mm] y\in{U_1}\cap{U_2} [/mm] mit [mm] y\ne{0} [/mm] dann gilt für [mm] x\in{V} [/mm] und [mm] u_i\in{U_i} [/mm] i=1,2
[mm] x=u_1+u_2=u_1-y+u_2+y [/mm] mit [mm] u_1-y\in{U_1} [/mm] und [mm] u_2+y\in{U_2} [/mm] und die Darstellung von x ist nicht mehr eindeutig. Also gilt [mm] U_1\cap{U_2}=0
[/mm]
Also folgt b aus a
II) Aus b folgt a
Zuerst soll gezeigt werden, dass wenn [mm] 0\in{V} [/mm] und [mm] 0=u_1+u_2 [/mm] gilt folgt, dass [mm] u_i=0 [/mm] i=1,2. Wenn dem so ist folgt für zwei Darstellungen
[mm] x=u_1+u_2=u^{'}_1+u^{'}_2 [/mm] das gilt
[mm] u_1-u^{'}_1+u_2-u^{'}_2=0 [/mm] gilt, also das [mm] u_i=u^{'}_i [/mm] i=1,2 gilt und die Darstellung endeutig ist.
Sei nun [mm] 0=u_1+u_2 [/mm] mit z.B. [mm] u_1\ne{0}, [/mm] dann gilt [mm] u_1=-u_2 [/mm] also ist [mm] u_1\in{U_1}\cap{U_2} [/mm] im Widerspruch dazu das [mm] {U_1}\cap{U_2}=0 [/mm] gelten soll.
Also folgt aus b auch a und alles ist bewiesen.
mfg ullim
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:00 So 12.11.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
also ich habe den Beweis verstanden und auch nachvollziehen können. Ich habe jetzt nochmal einen Beweisversuch gestartet, indem ich Ideen des gezeigten Beweises verwendet habe, allerdings es trotzdem anders gemacht habe. Meine Frage ist nur, ob es diesmal OK wäre.
Also: Die Voraussetzungen sind die selben wie vorhin, ich schreibe sie deswegen nicht nochmal hin. Ich zeige zuerst aus a) folgt b).
Also:
Da [mm] u_{1} \in U_{1} [/mm] ist, ist auch [mm] u_{1}\in span(U_{1}) [/mm] und da [mm] u_{2} \in U_{2} [/mm] ist, ist auch [mm] u_{2} \in span(U_{2}). [/mm] Da [mm] x=u_{1}+u_{2} [/mm] ist, gilt auch: [mm] x=span(U_{1})+span(U_{2})=span(U_{1} \cup U_{2}) [/mm] = [mm] U_{1}+U_{2}. [/mm] Somit ist x [mm] \in (U_{1}+U_{2}). [/mm] Da x [mm] \in [/mm] V ist, muss demnach [mm] U_{1}+U_{2}=V [/mm] sein.
Zweiter Teil:
Angenommen es existiere ein [mm] y\not= [/mm] 0 [mm] \in (U_{1} \cap U_{2}), [/mm] dann wäre y auch ein Element von [mm] U_{1} [/mm] und auch ein Element von [mm] U_{2} [/mm] und somit würde gelten: [mm] x=u_{1}+u_{2}=u_{1}-y+U_{2}+y [/mm] mit [mm] u_{1}-y \in U_{1}und u_{2}-y \in U_{2}. [/mm] Dann wäre x aber nicht mehr eindeutig bestimmt. Also gilt: [mm] U_{1} \cap U_{2}=0.
[/mm]
Nun die andere Richtung.
aus b) folgt a)
Beweis:
Wenn [mm] U_{1} \cap U_{2}=0 [/mm] ist folgt daraus das, 0 [mm] \in U_{1} [/mm] und das 0 [mm] \in U_{2} [/mm] ist. Mit [mm] U_{1}+U_{2}=V [/mm] folgt, das [mm] x=u_{1}+u_{2} [/mm] ist.
Angenommen es wäre [mm] u_{1}=u'_{1} [/mm] und [mm] u_{2}=u'_{2}, [/mm] dann wäre [mm] x=u_{1}+u_{2}=u'_{1}+u'_{2} [/mm] und [mm] 0=u'_{1}-u_{1}+u'_{2}-u_{2}. [/mm] Daraus folgt dann: [mm] u'_{1}=u_{1} [/mm] und [mm] u'_{2}=u_{2}. [/mm] Somit sind sie eindeutig bestimmt.
Damit ist alles bewiesen.
Vielleicht kann ja nochmal jemand drüberschauen und mir sagen was OK ist und was nicht oder ob es überhaupt geht. Wenn es nicht ok sein sollte werde ich wohl doch Ullim´s Antwort nehmen, bevor ich gar nichts habe oder mein Beweis falsch ist.
Danke schonmal und Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Di 14.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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