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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Mi 01.12.2004 | | Autor: | Pizza |
Hallo zusammen,
Ich hab keine Ahnung, wie ich die folgenden 3 Teilaufgaben beweisen soll. Ich hoffe, es kann mir einer helfen und mir sagen, wie ich da am besten vorgehen könnte.
Aufgabe 1:
a) Zeigen Sie, dass in der Definition eines K-Vektorraumes (V,+,*) das Axiom (A) Für alle x [mm] \in [/mm] V gilt 1x=x
gleichwertig durch das folgende Axiom ersetzt werden kann:
(A') Für alle x [mm] \in [/mm] V und alle [mm] \alpha \in [/mm] K gilt: aus [mm] \alpha{x}=0 [/mm] folgt
[mm] \alpha [/mm] =0 oder x = 0.
Meine Frage: Ich versteh nicht, warum [mm] \alpha=0 [/mm] ist, obwohl bei (A) [mm] \alpha=1 [/mm] ist. Ist das nicht Widerspruch? Ich weiß nicht, wie ich den Widerspruch beweisen soll...
b) Seien K ein Körper und sei V die Menge aller Polynome mit geradem Grad (einschließlich 0) in der variablen t und Koeffizienten in K. Zeigen Sie oder widerlegen Sie: V bildet zusammen mit der üblichen Addition und Skalarmultiplikation von polynomen einen K-vektorraum.
Meine Frage: In K ist ja die Multiplikation und Addition doch komponentenweise definiert. Meines Wissens nach bilden die polynome einen K-Vektorraum. Ich weiß aber nicht, wie ich das beweisen soll. Kann mir jemand vielelicht einen Tipp geben oder mir auf die Sprünge helfen?
c) Zeigen Sie direkt (ohne Verwendung der Sätze über die länge von Basen): Sei V ein K-vektorraum, und es gebe eine Basis der Länge 2. Dann hat jede andere basis von V ebenfalls die Länge 2.
Mein Problem: was heißt das überhaupt, dass eine Basis eine Länge hat? Eine Basis ist doch ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. was hat die Länge damit zu tun? und wie kann ich das beweisen???
Ich hoffe, jemand kann etwas mit dieser Aufgabe anfangen. ich leider nicht wirklich. Bin schon total verzweifelt..
gruß, pizza
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Halli hallo!
> Aufgabe 1:
> a) Zeigen Sie, dass in der Definition eines K-Vektorraumes
> (V,+,*) das Axiom (A) Für alle x [mm]\in[/mm] V gilt 1x=x
>
> gleichwertig durch das folgende Axiom ersetzt werden
> kann:
> (A') Für alle x [mm]\in[/mm] V und alle [mm]\alpha \in[/mm] K
> gilt: aus [mm]\alpha{x}=0[/mm] folgt
> [mm]\alpha[/mm] =0 oder x = 0.
> Meine Frage: Ich versteh nicht, warum [mm]\alpha=0[/mm] ist,
> obwohl bei (A) [mm]\alpha=1[/mm] ist. Ist das nicht Widerspruch?
> Ich weiß nicht, wie ich den Widerspruch beweisen soll...
Also hier wieß ich leider auch nicht so genau Bescheid!
Aber da in der Aufgabe "zeige" steht würd ich mal vermuten dass es irgendwie stimmen muß.....
> b) Seien K ein Körper und sei V die Menge aller Polynome
> mit geradem Grad (einschließlich 0) in der variablen t und
> Koeffizienten in K. Zeigen Sie oder widerlegen Sie: V
> bildet zusammen mit der üblichen Addition und
> Skalarmultiplikation von polynomen einen K-vektorraum.
>
> Meine Frage: In K ist ja die Multiplikation und Addition
> doch komponentenweise definiert. Meines Wissens nach bilden
> die polynome einen K-Vektorraum. Ich weiß aber nicht, wie
> ich das beweisen soll. Kann mir jemand vielelicht einen
> Tipp geben oder mir auf die Sprünge helfen?
Also ich würde auch sagen, dass sie einen K-Vektorraum bilden
1) bei der Addition ist es ja klar, für zwei Polynome
[mm] p_{1}(x)=a_{1}x^{2k_{1}}+...+a_{n}x^{2k_{n}}\in{\cal K} [/mm] für [mm] a_{i}\in\IR [/mm] und [mm] k_{i}\in\IZ
[/mm]
und
[mm] p_{2}(x)=b_{1}x^{2l_{1}}+...+b_{n}x^{2l_{n}}\in{\cal K} [/mm] für [mm] b_{i}\in\IR [/mm] und [mm] l_{i}\in\IZ
[/mm]
gilt offensichtlich auch
[mm] q(x)=p_{1}(x)+p_{2}(x)\in{\cal K}
[/mm]
2) bei der Multiplikation gilt
[mm] r(x)=p_{1}(x)*p_{2}(x)=a_{1}b_{1}x^{2*(k_{1}+l_{1})}+a_{1}b_{2}x^{2(k_{1}+l_{2})}+...+a_{n}b_{n}x^{2(k_{n}+l_{n})}
[/mm]
was wiederum in [mm] {\cal K} [/mm] liegt, da alle Exponenten auch hier gerade sind.
> c) Zeigen Sie direkt (ohne Verwendung der Sätze über die
> länge von Basen): Sei V ein K-vektorraum, und es gebe eine
> Basis der Länge 2. Dann hat jede andere basis von V
> ebenfalls die Länge 2.
> Mein Problem: was heißt das überhaupt, dass eine Basis
> eine Länge hat? Eine Basis ist doch ein linear unabhängiges
> Erzeugendensystem. was hat die Länge damit zu tun? und wie
> kann ich das beweisen???
Also die Länge würd ich hier nicht so verstehen wie du es getan hast (du hast doch sicher an die Länge der einzelnen Vektoren gedacht oder)
Ich würde denken, dass die Anzahl der Vektoren gemeint ist, also dass eine Basis genau dann die Länge zwei hat wenn sie aus zwei Vektoren besteht!
Also ich hoffe ich konnte dir wenigstens teilweise weiterhelfen!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Do 02.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Liebe Pizza
> Hallo zusammen,
> Ich hab keine Ahnung, wie ich die folgenden 3 Teilaufgaben
> beweisen soll. Ich hoffe, es kann mir einer helfen und mir
> sagen, wie ich da am besten vorgehen könnte.
> Aufgabe 1:
> a) Zeigen Sie, dass in der Definition eines K-Vektorraumes
> (V,+,*) das Axiom (A) Für alle x [mm]\in[/mm] V gilt 1x=x
>
> gleichwertig durch das folgende Axiom ersetzt werden
> kann:
> (A') Für alle x [mm]\in[/mm] V und alle [mm]\alpha \in[/mm] K
> gilt: aus [mm]\alpha{x}=0[/mm] folgt
> [mm]\alpha[/mm] =0 oder x = 0.
> Meine Frage: Ich versteh nicht, warum [mm]\alpha=0[/mm] ist,
> obwohl bei (A) [mm]\alpha=1[/mm] ist. Ist das nicht Widerspruch?
> Ich weiß nicht, wie ich den Widerspruch beweisen soll...
>
Da ist kein Widerspruch.
Es ist ja so, dass in der Mathematik nichts naturgegeben ist. Und es bedeutet eine grosse Herausforderung, eine möglichst kurze, aber vollständige, Sammlung von Gesetzen und Regeln aufzuzählen, damit ein widerspruchsfreies Gebäude entsteht. Diese Gesetzessammlung sind eben die Axiome.
Da hat jemand das Axiom geschaffen:
$(A) 1*x=x_$
ABER: dieser jemand, so die Behauptung, hätte auch an dessen Stelle ein anderes Axiom schaffen können, un das ganze Gedankengebäude sollte immer noch funktionieren:
$(A')$ Für alle $x [mm] \in [/mm] V$ und alle [mm] $\alpha \in [/mm] K$ gilt:
aus [mm] $\alpha{x}=0$ [/mm] folgt [mm] $\alpha [/mm] =0$ oder $x = 0_$.
Du sollst also zeigen, dass (A) und (A') gleichwertig sind.
> b) Seien K ein Körper und sei V die Menge aller Polynome
> mit geradem Grad (einschließlich 0) in der variablen t und
> Koeffizienten in K. Zeigen Sie oder widerlegen Sie: V
> bildet zusammen mit der üblichen Addition und
> Skalarmultiplikation von polynomen einen K-vektorraum.
>
> Meine Frage: In K ist ja die Multiplikation und Addition
Du meinst in V, oder?
> doch komponentenweise definiert. Meines Wissens nach bilden
> die polynome einen K-Vektorraum. Ich weiß aber nicht, wie
> ich das beweisen soll. Kann mir jemand vielelicht einen
> Tipp geben oder mir auf die Sprünge helfen?
>
Du musst nur alle Axiome, eins nach dem Andern durchgehen und überprüfen (und begründen), ob diese erfüllt sind! Begründen tut man das in der Regel durch Vorrechnen mit Angabe, auf Grund welchen Axiomes in K man die nächste Umformung vorgenommen hat.
Mit lieben Grüssen
Paul
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