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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Edi1982 |
Hallo Leute!
Ich habe bis Freitag folgende Aufgabe zu lösen und habe keine Ahnung wie:
Zeigen Sie zunächst, dass jede der beiden Mengen A = {1, t, [mm] e^t, te^t [/mm] }, B = { [mm] e^{3t}, te^{3t}, t^{2}e^{3t} [/mm] } linear unabhängig im Vektorraum aller Funktionen f: [mm] \IR \to \IR [/mm] ist. Daher ist A eine Basis für V = <A>, und B eine Basis für W = <B>. Geben Sie die Matrixdarstellung von D : V [mm] \to [/mm] V und D : W [mm] \to [/mm] W an, wobei D der Differentialoperator D(f) = df/dt ist.
Wie schon gesagt : KEINE AHNUNG! [mm] \Rightarrow [/mm] BRAUCHE HILFE!
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Hallo,
> Zeigen Sie zunächst, dass jede der beiden Mengen [mm]A = \{1, t, e^t, te^t \}, B = \{ e^{3t}, te^{3t}, t^{2}e^{3t} \}[/mm] linear
> unabhängig im Vektorraum aller Funktionen f: [mm]\IR \to \IR[/mm]
wird die Gleichung [mm]\alpha \;1\; + \;\beta \;t\; + \;\gamma \;e^{t} \; + \;\delta \;t\;e^{t} \; = \;0[/mm] nur für [mm]\alpha \; = \;\beta \; = \;\gamma \; = \;\delta \; = \;0[/mm] erfüllt, so sind die Funktionen linear unabhängig. Aus der linearen Unabhängigkeit folgt nun, das dies eine Basis ist.
> ist. Daher ist A eine Basis für V = <A>, und B eine Basis
> für W = <B>. Geben Sie die Matrixdarstellung von D : V [mm]\to[/mm]
> V und D : W [mm]\to[/mm] W an, wobei D der Differentialoperator D(f)
> = df/dt ist.
Ist da vielleicht eine Differentialgleichung [mm]y'\; = \;A\;y\; + \;b(t)[/mm] anzugeben?
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Do 19.05.2005 | | Autor: | Edi1982 |
Ich habe vestande, wie man die lineare unabhängigkeit beweist.
Ich habe nur keine Ahnung wie ich die Matrixdarstellung von D berechnen soll.
Es ist wichtig für mich, denn es muss bis Morgen gelöst werden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:44 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Edi!
Okay, ich mache es dir mal für die Abbildung $D:V [mm] \to [/mm] V$, also die Basis $A$ vor. Für die Abbildung $D:W [mm] \to [/mm] W$ mit der Basis $B$ wirst du es dann wohl selber hinbekommen, nehme ich mal an.
Es gilt:
[mm] $\frac{d}{dt}(1) [/mm] = 0 = 0 [mm] \cdot [/mm] 1 + 0 [mm] \dot [/mm] t + 0 [mm] \cdot e^t [/mm] + 0 [mm] \cdot te^t$,
[/mm]
[mm] $\frac{d}{dt}(t) [/mm] = 1 = 1 [mm] \cdot [/mm] 1 + 0 [mm] \cdot [/mm] t + 0 [mm] \cdot e^t [/mm] + 0 [mm] \cdot te^t$,
[/mm]
[mm] $\frac{d}{dt}(e^t) [/mm] = [mm] e^t [/mm] = 0 [mm] \cdot [/mm] 1 + 0 [mm] \cdot [/mm] t + 1 [mm] \cdot e^t [/mm] + 0 [mm] \cdot te^t$,
[/mm]
[mm] $\frac{d}{dt}(te^t) [/mm] = [mm] e^t [/mm] + [mm] te^t [/mm] = 0 [mm] \cdot [/mm] 1 + 0 [mm] \cdot [/mm] t + 1 [mm] \cdot e^t [/mm] + 1 [mm] \cdot te^t$.
[/mm]
Daher gilt (in den Spalten der Abbildungsmatrix stehen die Koordinaten der Bilder von $A$ bezüglich $A$):
[mm] $M_A^A(D) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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