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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Do 21.04.2005 | | Autor: | Freak84 |
Ich habe da ein Problem mit einem Beweis:
X = Vektorraum
K = Körper
Für (X,K) mögen alle Vektorraumaxoime geltern außer 1*a = a
1 [mm] \in [/mm] K , a [mm] \in [/mm] X
Man Zeige : x [mm] \in [/mm] X ist als Summe x = a + b mit 1*a = a und 1*b = 0 darstellbar.
Leider habe ich gar keinen ansatz im Moment und würde mich über hilfe sehr freuen
Danke
Freak
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Michael,
ich würde es mal so versuchen.
Es gibt zwei mögliche Fälle die man betrachten muss:
1. Fall: Sei [mm] $x\in [/mm] V$ mit [mm] $1\cdot [/mm] x = x$
Dann wählt man $a=x$ und $b=0$ und hat wegen dem neutralen Element von $(V; +)$ sichergestellt dass $x=x+0$ mit [mm] $1\cdot [/mm] x=x$ und [mm] $1\cdot [/mm] 0 =0$.
2. Fall: Sei [mm] $x\in [/mm] V$ mit [mm] $1\cdot [/mm] x [mm] \neq [/mm] x$
Dann sei [mm] $y=1\cdot [/mm] x$. Wegen $y= [mm] 1\cdot [/mm] x = [mm] (1\cdot [/mm] 1) [mm] \cdot [/mm] y = [mm] 1\cdot (1\cdot [/mm] x)= [mm] 1\cdot [/mm] y$ gilt [mm] $y=1\cdot [/mm] y$. Damit hat $x$ die Darstellung $x=y+0$, also $a=y$ und $b=0$.
Das einzige was man zeigen muss, ist dass [mm] $1\cdot [/mm] 0 =0$ gelten muss.
Angenommen es würde gelten [mm] $1\cdot [/mm] 0 = z [mm] \neq [/mm] 0$. Wegen [mm] $z=1\cdot [/mm] 0= 1 [mm] \cdot \left(z + (-z)\right)= 1\cdot [/mm] z + [mm] 1\cdot [/mm] (-z) = z + 1 [mm] \cdot [/mm] (-z)$, daraus folgt aber, dass [mm] $1\cdot [/mm] (-z)=0$. Damit erzeugt man den Widerspruch [mm] $0=1\cdot [/mm] (-z)= [mm] (1\cdot 1)\cdot [/mm] (-z)= [mm] 1\cdot (1\cdot [/mm] (-z) )= [mm] 1\cdot [/mm] 0 =z$. Also muss doch gelten [mm] $1\cdot [/mm] 0=0$.
Gruß Max
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