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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo zusammen! Folgende Aufgaben habe ich zu bearbeiten! Hier sind meine Lösungsvorschläge und wäre dankbar wenn ihr dass korriegieren könntet wenn ich irgendwo einen Denkfehler gemacht habe!
1.) Der [mm] \IR [/mm] - Vektorraum [mm] Abb(\IR [/mm] , [mm] \IR) [/mm] der Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] ist endlich dimensional!
Diese Aussage ist FALSCH da [mm] \IR [/mm] überabzählbar ist!
2:) Jeder Untervektorraum U des [mm] \IR [/mm] - Vektorraums V = [mm] \IR³ [/mm] ist ein endlich dimensionaler [mm] \IR [/mm] - Vektorraum!
Diese Aussage ist RICHTIG die die Untervektorräume des [mm] \IR³ [/mm] einmal der [mm] \overrightarrow{0}, [/mm] die Geraden also 2 dimensinal, die Ebenen also 3 dimensional und der [mm] \IR³ [/mm] selbst sind. Da nach Def der [mm] \IR³ [/mm] endlich deimensional ist so sind die Untervektorräume auch endlich dimensional!
3.) Für ein Polynom P [mm] \in \IR[x] [/mm] sei mit deg(P) Grad des Polynoms P bezeichnet. Der Untervektorraum {P [mm] \in \IR[x] [/mm] | deg(P) [mm] \le [/mm] 2 } des [mm] \IR [/mm] - Vektorraumes [mm] \IR[x] [/mm] ist ein endlich dimensionaler [mm] \IR [/mm] - Vektorraum.
Ich denke diese Aussage ist auch RICHTIG da [mm] \IR[x] [/mm] mit der Basis {1,x², x³,..., [mm] x^{n} [/mm] } ist abzählbar undendlich durch P [mm] \in \IR[x] [/mm] mit deg(P) [mm] \le [/mm] wird die Dimension zu 3
4.) Es sei v = Abb( [mm] \IR [/mm] , [mm] \IR [/mm] ) der [mm] \IR [/mm] - Vektorraum der Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR. [/mm] Welche der folgenden Mengen von Vektoren aus V sind linear unabhängig?
a) { (1: [mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] 1), (cos: [mm] \IR \to \IR [/mm] ) , (sin : [mm] \IR \to \IR [/mm] ) }
b) { (1: [mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] 1), (cos: [mm] \IR \to \IR [/mm] ) }
c) { (1: [mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] 1) , (cos² : [mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] (cos(x))²), (sin² : [mm] \IR \to \IR [/mm] ) }
Hier sind nur a) und b) linear unabhängig und c sind linear abhängige Vektoren bzw Funktionen!
5.) Es seinen [mm] v_{1} [/mm] , [mm] v_{2} [/mm] , [mm] v_{3} \in [/mm] V. Falls { [mm] v_{1} [/mm] , [mm] v_{2} [/mm] , [mm] v_{3} [/mm] } linear unabhängig sind, dann gilt:
a) { [mm] v_{1} [/mm] , [mm] v_{2} [/mm] } linear abhängis
b) { [mm] v_{1} [/mm] , [mm] v_{2} [/mm] } linear abhängig für spezielle Wahl von [mm] v_{1} [/mm] , [mm] v_{2} [/mm] , [mm] v_{3}
[/mm]
c) { [mm] v_{1} [/mm] , [mm] v_{2} [/mm] } stets linear unabhängig
Hier ist c) richtig da { [mm] v_{1} [/mm] , [mm] v_{2} [/mm] } ja ein Untervektorraum bildet und dies bleint auch linear unabhängig
6) Es seien [mm] v_{1} [/mm] ,....., [mm] v_{n} \in [/mm] V. Es sei < [mm] {v_{1} ,..., v_{n} } [/mm] > = V.
a) Jedes Element v von V hat die Darstellung v = [mm] \lambda_{1} v_{1} [/mm] +...+ [mm] \lambda_{n} v_{n} [/mm] für geeignete [mm] \lambda_{1} [/mm] ,..., [mm] \lamda_{n} \in \IK.
[/mm]
b) Die Dimension von V ist n.
c) Die Dimension von V ist kleiner oder gleich n.
Hier denke ich dass a) und c) richtig sind. [mm] v_{1} [/mm] ,...., [mm] v_{n} [/mm] ist eine Basis von V wenn sie linear unabhängig sind. Aus der Menge der Linearkombinationen des Erzeugendensystems sind also die linear unabhängigen eine Basis. dimV = Größe der linear unabhängigen Vektoren. Wenn alle Vektoren in V linear unabhängig sind dann ist dies dim = n ansonsten kleiner oder gleich n !
Ich hoffe ihr könnt hier einen Blick drüber werfen und mir sagen ob ich bei den Aufgaben richtig gedacht habe!
Gruß
Tyskie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo!
Hat hier keiner eine Idee? :(
LG
Tyskie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Seiko |
also ich stimme dir bei den Punkten 4-6 auf jedenfall zu... bei Punkt 2 stimme ich dir ebenfalls zu,wobei ich nicht 100 % ein gegenbeispiel ausschließen kann.. zu aufgabe 1,3 habe ich leider keine idee..
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