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| Aufgabe | | Zeigen sie, dass durch <A,B>.= Spur (B transponiert*A) der [mm] \IR-Vektrorraum \IR^m*n [/mm] zu einem euklidischen Raum wird |
Hallo, ich komme mit dieser Aufgabe nicht zu Recht ich weiß nicht was ich da genau zeigen soll bzw wie? der euklidische Raum ist doch der Raum mit der 2-Norm oder? Und wie sieht diese Norm bei einer Matrix aus? Und wie zeige ich das was in der Aufgabe verlangt wird?
Danke schon mal für eure Hilfe
Liebe Grüße Tanja
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Hi Tanja,
Also wir haben einen euklidischen Vektorraum als Vektorraum mit einem reellen Skalarprodukt definiert. Demnach müsstest du nur zeigen, dass die gegebene Abbildung ein reelles Skalarprodukt auf dem [mm] \IR^{m,n} [/mm] ist.
MFG Verena
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Hallo,
Ich habe doch zwei Matrizen wie kann ich da was mit dem Skalarprodukt zeigen? Oder ist es so gemeint dass ich halt die eigenschaften des skalarprodukts bei dem oben definierten nachrechnen?
Liebe Grüße
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Was meinst du mit DEM Skalarprodukt? Ein Skalarprodukt ist doch einfach eine bestimmte Abbildungsart, die von VxV nach [mm] \IR [/mm] bzw. [mm] \IC [/mm] abbildet, wobei V ein Vektorraum ist. Und der [mm] \IR^{m,n} [/mm] ist ein Vektorraum. Das heißt du musst zeigen, dass die Abbildung [mm] \IR^{m,n}x\IR^{m,n}\to\IR, [/mm] (A,B) [mm] \mapsto{}Spur(B^T*A) [/mm] ein Skalarprodukt ist.
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Mit Skalarprodukt meinte ich das, das für die Vektoren gilt also das was man auch schon in der Schule lernt. Wie zeige ich das? mir fehlt da irgendwie die Idee bzw der Anfang zu.
Liebe Grüße
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Okay, dann meintest du wohl das Standardskalarprodukt des [mm] \IR^n.
[/mm]
Also z.B. auf dem [mm] \IR^2: [/mm] < [mm] \vektor{x_1 \\ y_1}, \vektor{x_2 \\ y_2}>=x_1\cdto{}x_2+y_1\cdot{}y_2, [/mm] oder?
Dein Skalarprodukt muss folgende Eigenschaften erfüllen:
[mm] =+, \forall A_1,A_2,B\in\IR^{m,n}
[/mm]
[mm] <\lambda\cdot{}A,B>=\lambda\cdot{}, \forall A,B\in\IR^{m,n}
[/mm]
(damit würd ich anfangen, ist glaub ich am einfachsten)
<A,B>=<B,A>, [mm] \forall A,B\in\IR^{m,n}
[/mm]
[mm] \ge{}0, \forall A\in\IR^{m,n} [/mm] und <A,A>=0 [mm] \gdw [/mm] A=0
Fehlt dir bei allen Eigenschaften der Ansatz? Ich finds immer am Besten, wenn man sich zuerst anschaulich klar macht, dass die Eigenschaften gelten und dann überlegt, wie man sie zeigt.
Hoffe ich konnnte dir etwas helfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:55 Sa 13.05.2006 | | Autor: | Tanja1985 |
Hey danke ich weiß jetzt wie ich diese Eigenschaften zeigen soll, ich dachte nur dass diese nur für das Standardskalaprodukt gelten und wusste deshalb nicht was ich machen sollte.
vielen Dank
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