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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:50 Mo 28.11.2005 | | Autor: | sirdante |
Nabend!
Sei K ein Körper. Für [mm] (v_{1},...,v_{n}) \in K^n [/mm] und [mm] (w_{1},...,w_{n}) \in K^n [/mm] sei [mm] (v_{1},...,v_{n}) [/mm] + [mm] (w_{1},...,w_{n}) [/mm] := [mm] (v_{1}+w_{1},...,v_{n}+w_{n}) [/mm]
und für [mm] \lambda \in [/mm] K und [mm] (v_{1},...,v_{n}) \in K^n [/mm] sei [mm] \lambda (v_{1},...,v_{n}) [/mm] := [mm] (\lambda v_{1},...,\lambda v_{n}) [/mm]
Zu zeigen: [mm] (K^n, [/mm] +, *) ist ein K-Vektorraum.
Meine Idee:
Nach Definition für einen K-Vektorraum müssen für die Menge V zwei binäre Operationen +: VxV [mm] \to [/mm] V, (v,w) [mm] \mapsto [/mm] v+w *: VxV [mm] \to [/mm] V, (v,w) [mm] \mapsto [/mm] v*w gelten.
Außerdem muss (V,+) eine abelsche Gruppe sein
Für die Verknüpfung von + und * muss gelten:
[mm] (\lambda [/mm] + [mm] \mu) [/mm] * v = [mm] \lambda [/mm] * v + [mm] \mu [/mm] * v
[mm] \lambda [/mm] * (v+w) = [mm] \lambda [/mm] * v + [mm] \lambda [/mm] * w
[mm] \mu [/mm] * [mm] (\lambda [/mm] * v) = [mm] (\mu [/mm] * [mm] \lambda) [/mm] * v
1 * v = v (v,w [mm] \in [/mm] V und [mm] \lambda, \mu \in [/mm] K)
Die Operationen sind ja schon durch die Aufagebnstellung definiert.
Da K ein Körper ist ist (V,+) abelsche Gruppe.
Die 4 Rechenregeln unterliegen auch alle den Axiomen einer abelschen Gruppe (multiplikativ) oder? Bzw. den daraus resultierenden Distributivgesetzen für die Verknüpfung von + und * (Körperaxiome).
Hätte ich mit so einer Agrumentation schon gezeigt das [mm] K^n [/mm] ein K-Vektorraum ist? Oder habe ich ein völlig falsches Verständinis für die Vektorräume? (habe so das gefühl)
Würde mich freuen, wenn mir jemand nen Wink geben könnte ob dies so reichen würde, völlig falsch ist, noch ergänzt werden muss o.ä.!
Danke
MFG dante
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> Nabend!
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> Sei K ein Körper. Für [mm](v_{1},...,v_{n}) \in K^n[/mm] und
> [mm](w_{1},...,w_{n}) \in K^n[/mm] sei [mm](v_{1},...,v_{n})[/mm] +
> [mm](w_{1},...,w_{n})[/mm] := [mm](v_{1}+w_{1},...,v_{n}+w_{n})[/mm]
>
> und für [mm]\lambda \in[/mm] K und [mm](v_{1},...,v_{n}) \in K^n[/mm] sei
> [mm]\lambda (v_{1},...,v_{n})[/mm] := [mm](\lambda v_{1},...,\lambda v_{n})[/mm]
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> Zu zeigen: [mm](K^n,[/mm] +, *) ist ein K-Vektorraum.
>
> Meine Idee:
>
> Nach Definition für einen K-Vektorraum müssen für die Menge
> V zwei binäre Operationen +: VxV [mm]\to[/mm] V, (v,w) [mm]\mapsto[/mm] v+w
> *: VxV [mm]\to[/mm] V, (v,w) [mm]\mapsto[/mm] v*w gelten.
> Außerdem muss (V,+) eine abelsche Gruppe sein
> Für die Verknüpfung von + und * muss gelten:
> [mm](\lambda[/mm] + [mm]\mu)[/mm] * v = [mm]\lambda[/mm] * v + [mm]\mu[/mm] * v
> [mm]\lambda[/mm] * (v+w) = [mm]\lambda[/mm] * v + [mm]\lambda[/mm] * w
> [mm]\mu[/mm] * [mm](\lambda[/mm] * v) = [mm](\mu[/mm] * [mm]\lambda)[/mm] * v
> 1 * v = v (v,w
> [mm]\in[/mm] V und [mm]\lambda, \mu \in[/mm] K)
>
> Die Operationen sind ja schon durch die Aufagebnstellung
> definiert.
> Da K ein Körper ist ist (V,+) abelsche Gruppe.
Hallo,
das wird nicht reichen, das so zu schreiben.
Du mußt vorrechnen, daß für alle [mm] u:=(u_1,u_2,...,u_n), v:=(v_1,v_2,...,v_n), w:=(w_1,w_2,...,w_n) [/mm] Kommutativ- und Assoziativgesetz gelten, Du mußt ein neutrales Element vorweisen können, genau wie ein Inverses für jedes Element.
Ebenso mußt du vorrechnen, daß die für die Vektorraumeigenschaft geforderten Gesetze für die Multiplikation mit Skalaren gelten.
Zwar läuft es letztendlich auf die Anwendung der rechenregeln in K hinaus, aber der bloße Hinweis dürfte nicht reichen. Es muß etwas zu sehen sein!
> Die 4 Rechenregeln unterliegen auch alle den Axiomen einer
> abelschen Gruppe (multiplikativ) oder? Bzw. den daraus
> resultierenden Distributivgesetzen für die Verknüpfung von
> + und * (Körperaxiome).
Das verstehe ich jetzt überhaupt nicht. In den Distributivgesetzen kommen doch sowohl Addition als auch Multiplikation vor, das hat mit "Gruppe" nicht mehr viel zu tun, oder? Innerhalb einer Gruppe gibt's nur eine Verknüpfung. Beachte auch, daß die v,w in den Distributivgesetzen Vektoren sind, keine Skalare.
Gruß v. Angela
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