Vektorprodukt im R2/R4 < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Di 27.05.2008 | | Autor: | Hackteck |
Zunächst einmal möchte ich mich bei "fred97" und "Teufel" ganz herzlich im Voraus für eure Mühe bedanken !!! Hat mir schon um einies weitergeholfen.
Aber hier kommt ein weitere Aufgabe:
Es gelte [mm] A\vec{v} [/mm] = [mm] \lambda \vec{v} [/mm] , das heißt die Matrix A macht den Vektor [mm] \vec{v} [/mm] zu seinem [mm] \lambda [/mm] -fachen. Was folgt daraus für $det$(A- [mm] \lambda"1"(soll [/mm] lamda * Einheitmatrix darstellen) )?
Betrachtet auf:
A = [mm] \pmat{ 2 & 3 \\ 3 & 4 }
[/mm]
A = [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 3 & 2 }
[/mm]
A = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
Gibt es [mm] \lambda [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] dazu??
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:25 Di 27.05.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Hackteck!
Da ich nicht sehe, was diese Frage mit der anderen zu tun hatte, habe ich mal eine extra Frage draus gemacht. Bitte immer einen neuen Thread aufmachen, wenn eine neue Frage kommt! Zudem glaube ich, dass Fragen dieser Art in der Hochschulmathematik besser aufgehoben sind. Bitte beim nächsten Mal vorher ein bisschen überlegen, wo die Frage hingehört.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:43 Di 27.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Habe keine so große Ahnung von, aber du kein konkreten Vektor gegeben hast, setzt einfach [mm] \vec{v}=\vektor{v_1 \\ v_2} [/mm] (ich nehme mal an, dass sich das im R² abspielt).
[mm] \pmat{ 2 & 3 \\ 3 & 4 }*\vektor{v_1 \\ v_2}=\vektor{2v_1+3v_2 \\ 3v_1+4v_2}
[/mm]
Aus diesem Vektor (rechte Seite) könntest du auch das [mm] \lambda [/mm] bestimmen, einmal für die x-Komponente und einmal für die y-Komponente. Beide müssen ja dann übereinstimmen, sonst wurde der Vektor ja nicht zu einem Vielfachen von sich selbst.
[mm] \lambda*\vektor{v_1 \\ v_2}=\vektor{2v_1+3v_2 \\ 3v_1+4v_2}
[/mm]
Für die x-Komponenten folgt daraus also
[mm] \lambda*v_1=2v_1+3v_2
[/mm]
[mm] \lambda=2+3\bruch{v_2}{v_1} [/mm] (für [mm] v_1\not=0 [/mm] zumindest)
Prinzip klar? Vielleicht hilft es dir ja.
So würde ICH zumindest da ran gehen, habe es aber noch nie selbst gemacht. Daher weiß ich nicht, wie sehr das hilft, die Aufgabe zu lösen und ich stell es mal auf halb-beantwortet.
Edit: habe mal geguckt, aber ich denke mal, dass das nur mit Einheitsmatrizen (oder vielfachen davon) klappt.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:44 Di 27.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> Es gelte [mm]A\vec{v}[/mm] = [mm]\lambda \vec{v}[/mm] [...]
> Was folgt daraus für [mm]det(A-\lambda"1"(soll[/mm] lamda
> * Einheitmatrix darstellen) )?
Man schreibt für die [mm]n[/mm]-dimensionale Einheitsmatrix
auch [mm] $\mathbb{E}_n$. [/mm] Es ist [mm] $$\exists v\ne0:Av=\lambda v\Leftrightarrow\exists v\ne0:(A-\mathbb{E}_n)v=0\Leftrightarrow\det(A-\lambda\mathbb{E}_n)=0$$
[/mm]
Letzteres heißt auch Charakteristisches Polynom [mm] $\chi(\lambda)$.
[/mm]
> Betrachtet auf:
> A = [mm]\pmat{ 2 & 3 \\ 3 & 4 }[/mm]
> A = [mm]\pmat{ 2 & 0 \\ 3 & 2 }[/mm]
> A
> = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }[/mm]
> Gibt es [mm]\lambda[/mm] und [mm]\vec{v}[/mm] dazu??
Nach Obigem reicht es dazu die Existenz von Nullstellen des charakteristischen Polynoms zu zeigen.
Schau dir zu diesem Thema am Besten mal auf die Wikipedia-Seite zum ![[]](/images/popup.gif) Eigenwertproblem.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Do 29.05.2008 | | Autor: | Hackteck |
Ich habe mal zu der Matrix [mm] $\lambda$ [/mm] ausgerechnet.
Für [mm] \pmat{ 2 & 3 \\ 3 & 4 } [/mm] habe ich [mm] $\lambda$1 [/mm] = 6,16 und [mm] $\lambda$2 [/mm] = -0,16 rausbekommen.
Für [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 3 & 2 } [/mm] habe ich [mm] $\lambda$1 [/mm] = 2 und [mm] $\lambda$2 [/mm] = 2 rausbekommen.
Für [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } [/mm] habe ich [mm] $\lambda$1 [/mm] = und [mm] $\lambda$2 [/mm] = nicht rausbekommen.
Das jeweilige Ergebnisse stellt ja das charakteristische Polynom(Nullstelle) da.
Heißt das für die Aufgabe, das [mm] $\lambda$ [/mm] und v existieren? Muss ich den v (den Eigenvektor) überhaupt noch ausrechnen? Und wenn ja, muss ich noch Beweisen das Av = [mm] $\lambda$v [/mm] gleich sind?
Auf der Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/index/indexframe.htm
kommt für die 3 Aufgabe für [mm] $\lambda$ [/mm] -i und i raus. Warum auch immer?
Wie rechne ich die Eigenvektoren aus?
Komm mit der Dreiecksform nicht zurecht. Bis [mm] A-$\lambda$* [/mm] E = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] komm ich zurecht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Do 29.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> Heißt das für die Aufgabe, das [mm]\lambda[/mm] und v existieren?
Ja, aber das Bedarf genaugenommen eines Beweises.
> Muss ich den v (den Eigenvektor) überhaupt noch ausrechnen?
> Und wenn ja, muss ich noch Beweisen das Av = [mm]\lambda[/mm]v
> gleich sind?
Nö.
> Auf der Seite
> http://www.arndt-bruenner.de/mathe/index/indexframe.htm
> kommt für die 3 Aufgabe für [mm]\lambda[/mm] -i und i raus. Warum
> auch immer?
Das charakteristische Polynom lautet [mm] $\chi(t)=t^2+1$, [/mm] und die beiden komplexen Lösungen sind halt [mm] $\pm [/mm] i$.
> Wie rechne ich die Eigenvektoren aus?
> Komm mit der Dreiecksform nicht zurecht. Bis A-[mm]\lambda[/mm]* E
> = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] komm ich zurecht
Das ist genau der richtige Ansatz. Lerne den Gauß-Algorithmus um dieses Gleichungssystem zu lösen, oder löse es "zu Fuß".
Gruß, Robert
|
|
|
|
