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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:21 So 18.06.2006 | | Autor: | annaL |
Auch hier habe ich Probleme....
Absolut keine Idee wie ich vorgehen könnte....
Beweise für beliebige Vektoren des [mm] R^3 [/mm] ( a ungleich null )
Die Gleichung y x a ( Vektorprodukt ) = b besitzt genau dann eine Lösung y Element aus [mm] R^3 [/mm] wenn a*b = 0 ist ( hier normnale Multiplikation! )
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 So 18.06.2006 | | Autor: | unixfan |
Der Vektor b (=y [mm] \times [/mm] a)steht senkrecht auf y und auf a, deswegen muss a senkrecht auf b stehen damit ein y existiert (a [mm] \cdot [/mm] b=0 sagt ja genau das aus). Das ganze kannst Du dann noch bißchen exakter beweisen mit der Definition des Kreuzprodukts und des Skalarprodukts.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:53 So 18.06.2006 | | Autor: | annaL |
Hallo!
Ja, das hatte ich mir auch überlegt, aber WIE fange ich den Beweis an?
Also womit genau?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 So 18.06.2006 | | Autor: | unixfan |
Nunja.. y [mm] \times [/mm] a = [mm] \vektor{y_2 a_3 - y_3 a_2 \\ y_3 a_1 - y_1 a_3 \\ y_1 a_2 - y_2 a_1} [/mm] =: [mm] \vektor{b_1 \\ b_2 \\ b_3}
[/mm]
(oder Definition über Epsilon-Tensor)
dann lös das mal nach y auf dann hast du vermutlich Gleichungssysteme die nur lösbar sind, wenn [mm] \vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3} \cdot \vektor{b_1 \\ b_2 \\ b_3} [/mm] = 0
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(Frage) überfällig | | Datum: | 23:42 So 18.06.2006 | | Autor: | annaL |
Hi!
Danke für den Ansatz, aber eine kurze Frage habe ich noch bezürglich des auflösenes nach y....
Das geht ja hier nicht so einfach da es in der Matrix drin steht, wie bekomme ich es denn daraus?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 00:03 Mo 19.06.2006 | | Autor: | unixfan |
Aus dem Ansatz kann man folgende Gleichungssystem folgern:
0 [mm] y_1 [/mm] + [mm] a_3 y_2 [/mm] - [mm] a_2 y_3 [/mm] = [mm] b_1
[/mm]
[mm] -a_3 y_1 [/mm] + 0 [mm] y_2 [/mm] + [mm] a_1 y_3 [/mm] = [mm] b_2
[/mm]
[mm] a_2 y_1 [/mm] - [mm] a_1 y_2 [/mm] + 0 [mm] y_3 [/mm] = [mm] b_3
[/mm]
Du suchst Lösungen für [mm] y_1, y_2 [/mm] und [mm] y_3 [/mm] (das beschreibt den Vektor y)
Eigentlich sind Dir die Lösungen sogar egal, Du willst nur wissen, ob es eine Lösung gibt.
Es ist halt die Frage, wie ihr solche Gleichungssysteme auf Lösbarkeit untersucht. Ich bevorzuge Matrizen:
[mm] \pmat{0 & a_3 & -a_2 & | & b_1 \\ -a_3 & 0 & a_1 & | & b_2 \\ a_2 & -a_1 & 0 & | & b_3}
[/mm]
Hier kannst Du nach einigem Umformen die Letzte Zeile auf so etwas wie 0 0 0 | [mm] b_3 a_3 [/mm] + [mm] b_2 a_2 [/mm] + [mm] b_1 a_1 [/mm] bringen. Wenn diese Zeile lösbar ist, ist das gesamte Gleichungssystem (in diesem Fall) lösbar, wenn nicht dann nicht. Offensichtlich ist es nur lösbar, wenn [mm] b_3 a_3 [/mm] + [mm] b_2 a_2 [/mm] + [mm] b_1 a_1 [/mm] = 0, und das ist dasselbe wie a*b = 0
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(Frage) überfällig | | Datum: | 00:13 Mo 19.06.2006 | | Autor: | annaL |
Danke, aber noch ein Problem ( hoffe du hälst mich nicht für völlig doof.,... ) wie kommst du am Ende auf die letze Zeile wo nur nullen stehen?
Mit dem gauß Jordan klappt es nämlich nicht....wäre froh wenn du die schritte noch etwas erläutern könntest...
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Mo 19.06.2006 | | Autor: | unixfan |
Den Gauß-Algorithmus muss man ja nicht unbedingt streng ausführen, aber ich kam so auf die Zeile:
[mm] \pmat{0 & a_3 & -a_2 & | & b_1 \\ -a_3 & 0 & a_1 & | & b_2 \\ a_2 & -a_1 & 0 & | & b_3}
[/mm]
[mm] \pmat{0 & 1 & -a_2/a_3 & | & b_1/a_3 \\ 1 & 0 & -a_1/a_3 & | & -b_2/a_3 \\ 1 & -a_1/a_2 & 0 & | & b_3/a_2}
[/mm]
[mm] \pmat{0 & 1 & -a_2/a_3 & | & b_1/a_3 \\ 1 & 0 & -a_1/a_3 & | & -b_2/a_3 \\ 0 & -a_1/a_2 & a_1/a_3 & | & b_3/a_2 + b_2/a_3}
[/mm]
[mm] \pmat{0 & 1 & -a_2/a_3 & | & b_1/a_3 \\ 1 & 0 & -a_1/a_3 & | & -b_2/a_3 \\ 0 & 1 & -a_2/a_3 & | & -b_3/a_1 - (b_2 a_2)/(a_3 a_1)}
[/mm]
[mm] \pmat{0 & 1 & -a_2/a_3 & | & b_1/a_3 \\ 1 & 0 & -a_1/a_3 & | & -b_2/a_3 \\ 0 & 0 & 0 & | & -b_3/a_1 - (b_2 a_2)/(a_3 a_1) - b_1/a_3}
[/mm]
[mm] \pmat{0 & 1 & -a_2/a_3 & | & b_1/a_3 \\ 1 & 0 & -a_1/a_3 & | & -b_2/a_3 \\ 0 & 0 & 0 & | & \bruch{-b_3 a_3 - b_2 a_2 - b_1 a_1}{a_3 a_1}}
[/mm]
Dann die letzte Zeile mal [mm] -a_3 a_1 [/mm] und fertig.... hoffe ich hab jetzt beim Abschreiben keinen Fehler gemacht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mi 21.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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