Vektorfeld mit Stokes < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Das Vektorfeld [mm] [b]Q[/b]=[Q_1,Q_2,Q_3] [/mm] ist gegeben durch:
[mm] Q_1=\bruch{1}{3}y^3+y*e^{xy}+1
[/mm]
[mm] Q_2=xy^2+(x+y)*e^{xy}
[/mm]
[mm] Q_3=z*e^{xy}
[/mm]
Berechne mit Hilfe von Stokes
[mm] \integral_{L}^{}{Q dx} [/mm] Das Integral ist ein Kurvenintegral oder auch Ringintegral genannt
L ist ein Rechteck ABCD mit A=[0,1,0], B=[1,1,0], C=[1,3,0] und D=[0,3,0] |
Hallo :)
ich dachte ich verwende nun die Paramterdarstellung für das Rechteck.
nun hab ich versucht die strecken zu parametrisieren...:
A->B y=1 kann ich sagen y=x mit x[0,1]?
B->C x=1 kann ich sagen x=y mit y[0,1]?
C->D y=3 kann ich sagen y=x mit x[0,3]?
D->A x=0 kann ich sagen x=y mit x[0]?
dann könnte ich vielleicht polarkoordinaten verwenden.
sonst sind das ja keine Funktionen sondern nur Gleichungen. Bringen mich die trotzdem irgendwie weiter?
Danke für eure Hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Do 15.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das Vektorfeld [mm]\mathbf{Q}=[Q_1,Q_2,Q_3][/mm] ist gegeben durch:
> [mm]Q_1=\bruch{1}{3}y^3+y*e^{xy}+1[/mm]
> [mm]Q_2=xy^2+(x+y)*e^{xy}[/mm]
> [mm]Q_3=z*e^{xy}[/mm]
>
> Berechne mit Hilfe von Stokes
>
> [mm]\integral_{L}^{}{Q dx}[/mm] Das Integral ist ein Kurvenintegral
> oder auch Ringintegral genannt
>
> L ist ein Rechteck ABCD mit A=[0,1,0], B=[1,1,0], C=[1,3,0]
> und D=[0,3,0]
> Hallo :)
>
> ich dachte ich verwende nun die Paramterdarstellung für
> das Rechteck.
> nun hab ich versucht die strecken zu parametrisieren...:
Du sollst aber das Integral nicht direkt, sondern mit dem Satz von Stokes ausrechnen. Der sagt, dass das Integral über den Rand des Rechtecks
[mm] \oint\limits_L Q dx = \int\limits_A (\mathop{\mathrm{rot}} Q)*dA [/mm]
ist, wenn A die Fläche des Rechtecks bezeichnet.
Wenn du nun doch direkt rechnen willst:
> A->B y=1 kann ich sagen y=x mit x[0,1]?
> B->C x=1 kann ich sagen x=y mit y[0,1]?
> C->D y=3 kann ich sagen y=x mit x[0,3]?
> D->A x=0 kann ich sagen x=y mit x[0]?
Du meinst vermutlich das Richtige, aber du wirfst die verschiedenen Bezeichnungen durcheinander. Nehmen wir mal die erste Seite. Du brauchst eine Variable als Parameter, die nenne ich mal [mm] $t_1$. [/mm] Eine Parametrisierung der Strecke von A nach B ist
[mm] $\gamma_1(t_1) = [t_1,1,0] [/mm], [mm] $0\le t_1 \le [/mm] 1$.
Wenn du also das Integral entlang dieser Strecke [mm] $S_1$ [/mm] berechnen willst, rechnest du
[mm] \int\limits_{S_1} Q dx = \int_0^1 Q(\gamma_1(t_1)) * \gamma_1'(t_1) dt_1 = \int_0^1 Q(\gamma_1(t_1)) * [1,0,0] dt_1 = \int_0^1 Q_1(\gamma_1(t_1)) dt_1 = \int_0^1 \left(\bruch{1}{3}1^3+1*e^{t_1*1}+1\right)dt_1 =\bruch{1}{3} +e[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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vielen dank für deine Hilfe :)
nein ich möchte doch lieber mit stokes rechnen.... :)
ich hab nun rot Q gebildet und komme auf
[mm] \begin{pmatrix} e^{yx}*xz \\ -e^{xy}*yz \\e^{xy}*y^2+2y^2 \end{pmatrix}
[/mm]
so nun möchte ich das ganze mit den Grenzen von A integrieren... Die kommen vom Rechteck oder? hmmm, kann ich dafür [mm] t_1 [/mm] und die andere ts gebrauchen oder muss ich neue Grenzen aufstellen? und wie gehe ich daran?
ein schönes wochenende und ein ganz großes Danke :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Sa 17.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> vielen dank für deine Hilfe :)
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> nein ich möchte doch lieber mit stokes rechnen.... :)
> ich hab nun rot Q gebildet und komme auf
> [mm]\begin{pmatrix} e^{yx}*xz \\ -e^{xy}*yz \\e^{xy}*y^2+2y^2 \end{pmatrix}[/mm]
Die dritte Komponente stimmt nicht, der Summand [mm] $2y^2 [/mm] $ ist zuviel; die bieden [mm] $y^2$-Terme [/mm] haben verschiedenes Vorzeichen und heben sich weg.
> so nun möchte ich das ganze mit den Grenzen von A
> integrieren... Die kommen vom Rechteck oder? hmmm, kann ich
> dafür [mm]t_1[/mm] und die andere ts gebrauchen oder muss ich neue
> Grenzen aufstellen? und wie gehe ich daran?
Die seiten des Rechtecks liegen parallel zu x- bzw. y-Achse, du musst also x von 0 bis 1 und y von 1 bis 3 integrieren. Wichtig beim Satz von Stokes: du musst die Rotation des Vektorfeldes noch mit dem Einheitsvektor der Flächennormalen multiplizieren. Wie sieht denn die Flächennormale des Rechtecks aus?
Insgesamt hast du also
[mm] \int_1^3 \left ( \int_0^1 (\mathop{\mathrm{rot}} Q) * \vec{n} dx \right) dy [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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uih wie toll :) :)
vielen dank für deine Hilfe.
Ich habe über die Normale nachgedacht und wollte nun das Rechteck als Ganzes parametrisieren.
im einzelnen bin ich gekommen auf:
[mm] y_{AB}=(t_1,1,0) [/mm] das war ja von dir
[mm] y_{BC}=(1,t_2,0)
[/mm]
[mm] y_{CD}=(t_1,3,0)
[/mm]
[mm] y_{DA}=(3,t_2,0)
[/mm]
nun habe ich die einfach addiert (da weiß ich nicht ob ich das darf :( ) und bin gekommen auf:
[mm] y=(2*t_1+4,2*t_2+4,0)
[/mm]
und hab grad y gebildet zu : (1,1,0)
isr das schon mein Normalenvektor?
Vielen lieben Dnk für Deine Hilfe und ein schönes Wochenende wünsch ich Dir :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Sa 17.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe über die Normale nachgedacht und wollte nun das
> Rechteck als Ganzes parametrisieren.
> im einzelnen bin ich gekommen auf:
> [mm]y_{AB}=(t_1,1,0)[/mm] das war ja von dir
> [mm]y_{BC}=(1,t_2,0)[/mm]
> [mm]y_{CD}=(t_1,3,0)[/mm]
> [mm]y_{DA}=(3,t_2,0)[/mm]
Wenn schon, dann [mm]y_{DA}=(\red{0},t_2,0)[/mm].
Aber: du parametrisierst hier die vier Seiten des Rechtecks, nicht die Fläche!
> nun habe ich die einfach addiert (da weiß ich nicht ob
> ich das darf :( ) und bin gekommen auf:
> [mm]y=(2*t_1+4,2*t_2+4,0)[/mm]
> und hab grad y gebildet zu : (1,1,0)
> isr das schon mein Normalenvektor?
Nein. Überleg doch mal, stell die ein Rechteck in der xy-Ebene vor, zum Beispiel auf deinem Schreibtisch. Welche Richtung hat der Vektor, der senkrecht auf dem Rechteck steht?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo :)
nochmals vielen Dank für deine Hilfe :)
ich hatte erst 0 und habs dann nochmal geändert ;)
also wenn meine Schreibtischplatte hier die xy-Fläche ist dann ist der senkrechte Vektor dazu in der z-Ebene...
meine ebene wird dann dargestellt mit allgemein E: [mm] \vec [/mm] x [mm] =\vec [/mm] a + r [mm] \vec [/mm] b + s [mm] \vec [/mm] c
a wäre [0,0,0] b wäre [mm] [t_1,1,0] [/mm] und c [mm] [0,t_2,0]
[/mm]
der senkrechte vektor n wäre dann [mm] \vec [/mm] b x [mm] \vec [/mm] c also: [mm] [0,0,t_1*t_2]
[/mm]
stimmt das so?
vielen dank für deine tolle Hilfe :)
wahh, die vektorpfeile machen mich verrückt... ich hoffe du verstehst trotz der falschen formatierung was ich sagen wollte...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Sa 17.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo :)
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> nochmals vielen Dank für deine Hilfe :)
>
> ich hatte erst 0 und habs dann nochmal geändert ;)
>
> also wenn meine Schreibtischplatte hier die xy-Fläche ist
> dann ist der senkrechte Vektor dazu in der z-Ebene...
> meine ebene wird dann dargestellt mit allgemein E: [mm]\vec[/mm] x
> [mm]=\vec[/mm] a + r [mm]\vec[/mm] b + s [mm]\vec[/mm] c
> a wäre [0,0,0] b wäre [mm][t_1,1,0][/mm] und c [mm][0,t_2,0][/mm]
>
> der senkrechte vektor n wäre dann [mm]\vec{b} \times\vec{c}[/mm] also:
> [mm][0,0,t_1*t_2][/mm]
>
> stimmt das so?
Ja, wie deine Anschaung dir auch sagt, zeigt der Vektor in z-Richtung. Du brauchst aber einen Einheitsvektor, also [mm] $\vec{n}=[0,0,1]$. [/mm]
(Dass der Einheitsvektor nach oben zeigt, und nicht nach unten, liegt an der Richtung, in der man beim Linienintegral die Ränder entlangläuft. Faustregel: wenn du den Rand so entlangläufst, dass die Fläche links von dir und das Äußere rechts von die liegt, dann zeigt der Vektor nach oben.)
> wahh, die vektorpfeile machen mich verrückt...
Schreibe \vec{b}.
So, und jetzt musst du [mm] $\mathop{\mathrm{rot}} [/mm] Q* [mm] \vec{n} [/mm] $ ausrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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uih wie toll ich habs verstanden :) vielen lieben Dank :)
skalarprodukt ist: [mm] e^{xy}*y^2
[/mm]
das eingesetzt in das integral und integriert über x und y ergibt:
[mm] 2*e^3-\bruch{7}{2}
[/mm]
stimmt das?
Vielen lieben Dank :) :) :) :)
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dann fange ich das [mm] 2e^3-4 [/mm] mal geschickt auf und ähm... lege es mal zur seite und integriere mal öffentlich um meinen fehler zufinden :)
[mm] \integral_{0}^{1} e^{xy}*y^2\, [/mm] dx [mm] =y*(e^y-1) [/mm]
[mm] \integral_{0}^{3} y*(e^y-1)\, [/mm] dy = [mm] 2e^3-\bruch{7}{2}
[/mm]
Vielen lieben Dank für Deine außerordentlich gute Hilfe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Sa 17.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> dann fange ich das [mm]2e^3-4[/mm] mal geschickt auf und ähm...
> lege es mal zur seite und integriere mal öffentlich um
> meinen fehler zufinden :)
>
> [mm]\integral_{0}^{1} e^{xy}*y^2\, dx =y*(e^y-1)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\integral_{0}^{3} y*(e^y-1)\, dy = 2e^3-\bruch{7}{2}[/mm]
Dein Rechteck geht aber in y-Richtung nur von 1 bis 3, nicht von 0 bis 3.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Alaizabel |
ja, da hast natürlich recht :D :D
dann nehm ich deine Lösung auch gern wieder auf :)
vielen lieben Dank für Deine ausführliche Hilfe!
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