Vektorfeld in Polarkoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:13 Do 15.06.2006 | | Autor: | stowoda |
| Aufgabe | Gegeben sind das Vektorfeld [mm] \vec{A}=\rho*\vec{ e_{\rho}} [/mm] und der Parabolid V, der von den Flächen [mm] A_{1} [/mm] und [mm] A_{2} [/mm] eingeschlossen ist.
[mm] A_{1} [/mm] ist gegeben durch [mm] \vec{r}(\rho,\varphi)=\rho*\vec{e_\rho}+b(1- \bruch{ \rho^{2}}{ a^{2}})*\vec{e_z} [/mm] mit [mm] 0\le \rho \le 2\pi [/mm] und [mm] 0\le \rho \le [/mm] a
[mm] A_{2} [/mm] ist eine Kreisscheibe in der Ebene z=0 um den Ursprung mit dem Radius a.
Berechnen Sie Volumenintegral [mm] div\vec{A}dV [/mm] |
Hallo!
Als erstes wollte ich sagen, dass ich nicht weiß wie das dreifache Integralzeichen geht,
deswegen schrieb ich Volumenintegral.
Ich hoffe, daß es dennoch verständlich ist.
Ich habe folgende Probleme bei dieser Aufgabe:
Welche Gestalt hat das Vektorfeld [mm] \vec{A} [/mm] ?
Müsste es nicht [mm] \vec{A}(\rho) [/mm] heißen?
Um die Divergenz auszurechnen leitet man alle Komponenten der Funktion nach [mm] \rho \varphi [/mm] und z ab.
Aber was sind die Komponenten? Wie sehen die aus?
Danke und Gruß
stowoda
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Nun, die Gestalt von [mm] $\vec [/mm] A$ ist doch eigentlich recht verständlich, oder? Das Feld zeigt immer von der z-Achse weg, und zwar mit der Stärke, die der Entfernung zur z-Achse entspricht. Vielleicht wird's karthesisch einfacher zu verstehen?
[mm] $A(x,y,z)=\wurzel{x^2+y^2}\vektor{x\\y\\0}$
[/mm]
Man schreibt ansonsten abkürzend nur A, eigendlich müßte es sogar [mm] $A(\rho ,\phi, [/mm] z )$ heißen, wenngleich keine Winkel- und z-abhängigkeit drin steckt.
Was das Integral angeht, du hättest ja auch ein ganz normales Integralzeichen nehmen können, das dV sagt zumindest in der Physik meist schon automatisch, daß es umein Volumen geht.
Dann darfst du nicht einfach so differenziern, das geht nur in karthesischen koordinaten. Schließlich möchtest du in dem Raum ja was messen, und wenn du z.B. den Winkel ein wenig änderst, ist das Ergebnis ja vom Abstand zum Ursprung abhängig! Je weiter weg du bist, desto stärker wirkt sich ja eine Änderung des Winkels aus.
Die Divergenz in Zylinderkoordinaten ist
[mm] $\nabla [/mm] = [mm] \vec e_\rho \partial_\rho [/mm] + [mm] \bruch{1}{\rho}\vec e_\phi \partial_\phi+\vec e_z \partial_z$
[/mm]
also etwas anders als im kartesischen:
[mm] $\nabla [/mm] = [mm] \vec e_x \partial_x+\vec e_y \partial_y+\vec e_z \partial_z$
[/mm]
Nunja, auf A angewandt, ergibt sich nur noch
[mm] $\nabla A=\vec e_\rho$
[/mm]
also Einheitvektoren, die von der z-AChse wegzeigen.
Jetzt kannst du gerne integrieren, wobei du darauf achten mußt, daß du den Integranden noch mit [mm] \rho [/mm] multiplizieren mußt, wenn du in Zylinderkoordinaten integrierst!
Die Stammfunktion ist dann ziemlich trivial, allerdings würde ich gerne sehen, wie du das mit den Grenzen hinbekommst!
Zu guter letzt bezweifle ich doch sehr, daß du wirklich [mm] $\integral_V \nabla [/mm] A dV$ ausrechnen sollst. Solltest du nicht eher Gauß benutzen? Damit wird das zu
[mm] $\integral_V \nabla [/mm] A dV = [mm] \integral_{\partial V} [/mm] A df$
wobei df Flächenelemente sind.
Die Aufgabe riecht förmlich danach, daß du Gauß nehmen sollst!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Do 15.06.2006 | | Autor: | stowoda |
Achso..
Nun habe ich eine Vorstellung über das Feld. Danke!
Ich habe allerdings noch Fragen..
$ [mm] \nabla [/mm] = [mm] \vec e_\rho \partial_\rho [/mm] + [mm] \bruch{1}{\rho}\vec e_\phi \partial_\phi+\vec e_z \partial_z [/mm] $
Habe bei mir auf dem Formelblatt folgendes gefunden:
$ [mm] \nabla \vec{A} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\rho}\bruch{ \partial}{ \partial\rho}*(\rho\vec{A}_\rho)+\bruch{1}{\rho}\bruch{ \partial\vec{A}_\varphi }{\partial\varphi}+\bruch{ \partial\vec{A}_z}{ \partial z}$
[/mm]
Sieht so aus, als ob sich das [mm] \rho [/mm] wegkürzte aber woher kommt dieser Unterschid in der Schreibweise?
Nun weiter..
Da das Vektorfeld [mm] \vec{A} [/mm] nur von [mm] \rho [/mm] abhängt ist die Ableitung nach [mm] \varphi [/mm] und $ z $ null.
Es bleibt also $ [mm] \bruch{1}{\rho}\bruch{\partial}{\partial\rho}(\rho*\rho\vec{e}_\rho) [/mm] $
oder?
Kann ich nun den Einheitsvektor rausziehen aus der Klammer, die beiden Rho´s multipliezieren, so dass 2 rauskommt?
Zum Integral..
Wieso muss ich vorher mit [mm] \rho [/mm] multiplizieren?
Zu den Grenzen..
Die Grenzen sind doch 0 bis a für [mm] \rho.
[/mm]
0 bis [mm] 2\pi [/mm] für [mm] \varphi
[/mm]
0 bis [mm] b(1-\bruch{\rho^{2}}{a^{2}})
[/mm]
Danke und Gruß
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OK, woher der Unterschied zwischen meiner und deiner Formel nu kommt, kann ich dir nicht so genau sagen, nimm deine Formel, die ist korrekt!
DAs mit dem Wegkürzen - BITTE?
[mm] $\bruch{1}{\rho} \partial{(\rho A)}=\bruch{1}{\rho} \left(\rho\partial{ A}+A\partial{\rho}\right)=\bruch{1}{\rho} \left(\rho\partial{ A}+A\right)$
[/mm]
nun,
$ [mm] \bruch{1}{\rho}\bruch{\partial}{\partial\rho}(\rho\cdot{}\rho\vec{e}_\rho) [/mm] $ ist korrekt, hier kommt ja dann [mm] $2\vec{e}_\rho$ [/mm] raus.
Nun zu dem ominösen zusätzlichen [mm] \rho
[/mm]
Betrachte mal nur [mm] $\integral [/mm] dV$
Das liefert dir ja ein Volumen, welches durch Aufaddieren der kleinen Volumenelemente dV=dxdydz entsteht. Einsetzen von Einheiten liefert dir auch eine Volumeneinheit.
Und in Polarkoordinaten? [mm] $dV=d\phi d\rho [/mm] dz$ stimmt irgendwie nicht, da kommt eine Fläche bei raus.
Wie groß ist denn das Volumen, wenn man [mm] $d\phi d\rho [/mm] dz$ betrachtet? Dazu solltest du in kart. Koordinaten gehen, also
[mm] $\vektor{x\\y\\z}=\vektor{\rho \cos \phi \\ \rho \cos \phi \\ z}$
[/mm]
Leite das mal nach den drei polarkoordinaten [mm] $\phi, \rho, [/mm] z$ ab, soll heißen, bilde die Jacobimatrix! Was gibt dir das? Die Spaltenvektoren zeigen dir, wohin du in kart. Koordinaten gehst, wenn du an [mm] $\phi, \rho$ [/mm] oder $z$ leicht drehst.
Nun, wenn du nun [mm] $d\phi d\rho [/mm] dz$ bildest, wie groß ist dann das Volumen, das dadurch beschrieben wird? Das Volumen ist das des Quaders, der durch die drei Spaltenvektoren der Jacobi-Matrix gebildet wird. Und wie groß ist das? Der durch drei Vektoren gebildete Quader hat das Volumen des Betrages der Determinante aus den drei Vektoren.
Sprich: Bilde den Betrag des Determinante der Jacobimatrix! Das ist [mm] \rho [/mm] !
Somit gilt insgesamt [mm] $dV=\rho [/mm] * [mm] d\phi d\rho [/mm] dz$. Hier kommt auch wieder ein Volumen raus!
Also:
[mm] $\integral fdV=\integral_{kart}fdxdydz=\integral_{Zyl}(f*\rho)d\phi d\rho dz=\integral_{kugel}f*\sin(\theta)*\rho^2d\phi d\rho d\theta$
[/mm]
Edit:
Hab ein kleines Bildchen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Winkel [mm] $d\phi$ [/mm] und die Breite [mm] $d\rho$ [/mm] der beiden farbigen Flächen ist gleich, aber die Fläche offenbar nicht. Multipliziere [mm] $d\phi d\rho$ [/mm] jeweils noch mit der Entfernung zum Ursprung, dann stimmt das wieder.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:12 Do 22.06.2006 | | Autor: | stowoda |
| Aufgabe | [mm] A_1 [/mm] ist gegeben durch [mm] \vec{r}(\rho,\varphi)=\rho \vec{e}_\rho +b(1-\bruch{\rho^2}{a^2})\vec{e}_z
[/mm]
[mm] A_2 [/mm] ist eine -kreisscheibe in der Ebene z=0 um den Ursprung mit dem Radius a. |
Okej, dankesehr. Das mit dem [mm] \rho [/mm] habe ich verstanden.
Wie Du bereits erwähnt hast ist
$ [mm] \integral_{V}div \vec{A} [/mm] dV = [mm] \integral_{F(V)}div \vec{A} [/mm] df $
Und tatsächlich sollen wir nun das Oberflächenintegral berechnen.
Also den Fluß des Vektorfeldes [mm] \vec{A} [/mm] durch die Oberfläche des Paraboliden.
Ich habe zwar eine Idee wie ich das machen könnte, bin mir aber nicht sicher:
Aus einem Buch habe ich folgendes:
[mm] $\integral_{A} \vec{F}d\vec{A} [/mm] = [mm] \integral_{A} (\vec{F}\vec{N})dA$
[/mm]
Wobei [mm] \vec{N} [/mm] der Normalenvektor der Fläche ist.
Kann ich nun unter der Annahme, dass [mm] A_1 [/mm] eine Niveauebene eines Skalarfeldes [mm] \phi=\vec{r}(\rho,\varphi)=\rho \vec{e}_\rho +b(1-\bruch{\rho^2}{a^2})\vec{e}_z [/mm] ist, ihre Flächennormale mit [mm] \bruch{grad\phi}{|grad\phi|} [/mm] ausrechnen?
Das Integral also aufteilen in [mm] \integral_{A_1}+\integral_{A_2} [/mm] ?
Langsam denke ich, dass das mit der Niveauebene nich klappt.. Hm, oder doch.
Kann ich nun so vorgehen oder nicht?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 24.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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