Vektorfeld=Gradientenfeld? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Sa 15.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
| Aufgabe | Handelt es sich bei den Vektorfeldern
a) F: [mm] \IR^3 \to \IR^3, (x,y,z)\mapsto(z,x,y)
[/mm]
b) F: [mm] \IR^3 \to \IR^3, (x,y,z)\mapsto(yz, [/mm] zx, xy)
um Gradientenfelder? Bestimmen Sie gegebenenfalls die Potentiale |
Hey,
Als erstes hoffe ich das mit dem Thema hier im Thread richtig bin?
Falls nicht dürft ihr mich gerne drauf aufmerksam machen/verschieben.
Wir haben nun ein neues Thema und bin mal gespannt ob ich das verstanden hab^^
Wir sollen bestimmen ob es sich bei Vektorfeldern um Gradientenfelder handelt.
Bei [mm] \IR^2 [/mm] ist es ja noch relativ einfach für F(x,y) = [mm] \vektor{x\\y}
[/mm]
Ich vergleiche ob die partiellen Ableitungen gleich sind
[mm] \bruch{\partial F_{1}}{\partial y} [/mm] = 0 = [mm] \bruch{\partial F_{2}}{\partial x}
[/mm]
Also von dem den x-Wert nach y ableiten und den y-Wert nach x ableiten
Bei [mm] \IR^3 [/mm] scheint das wohl ein bisschen umfangreicher zu sein, daher habe ich mal 2 Beispiele mitgebracht.
zu a)
es muss gelten:
[mm] \bruch{\partial F_{1}}{\partial y}=\bruch{\partial F_{2}}{\partial x}
[/mm]
und
[mm] \bruch{\partial F_{1}}{\partial z}=\bruch{\partial F_{3}}{\partial x}
[/mm]
und
[mm] \bruch{\partial F_{2}}{\partial z}=\bruch{\partial F_{3}}{\partial y}
[/mm]
Hier ist kein Gradientenfeld vorhanden, da :
0 [mm] \not= [/mm] 1
und
1 [mm] \not= [/mm] 0
und
0 [mm] \not= [/mm] 1
Hier ist jede der 3 Bedingungen nicht erfüllt.
entsprechend gäbe es auch kein Potential
b)
Hier gibt es ein Gradientenfeld, da:
z=z
und
y=y
und
x=x
Hier gibt es nun auch ein Potential. Im Folgenden werde ich versuchen dieses herauszufinden:
Das Vektorfeld kürze ich ab hier mit [mm] \vec{v} [/mm] ab und das Potential nenne ich p.
Es muss gelten: [mm] \vec{v} [/mm] = -grad p
Daraus ergibt sich:
[mm] \vektor{yz \\ zx \\ xy} [/mm] = - [mm] \vektor{\bruch{\partial p(x,y,z)}{\partial x}\\ \bruch{\partial p(x,y,z)}{\partial y} \\ \bruch{\partial p(x,y,z)}{\partial z}}
[/mm]
Ab Hier weiß ich allerdings nicht genau weiter...
kann mir da vllt bitte jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Sa 15.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du weisst [mm] \bruch{\partial p}{\partial x}=yz
[/mm]
[mm] p=\integral [/mm] yzdx=xyz+C(y,z)
damit [mm] \bruch{\partial p}{\partial y}= xz+\bruch{\partial C(y,z)}{\partial y}=zx
[/mm]
damit [mm] p=xyz+C_1(z)
[/mm]
jetzt noch [mm] \bruch{\partial p}{\partial z} [/mm] und du hast das Potential, das man hier auch leicht raten konnte
P=x*y*z+C
fas Vorgehen hab ich nur gezeigt, weil man nicht immer P so leicht raten und dann bestätigen kann.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Sa 15.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
Alles kla Danke.
glaub das hab ich dann raus.
Man muss praktisch zusehen dass das c nicht mehr von etwas abhängig ist.
Danke!
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