Vektorfamilie des R^4 < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Do 28.05.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Vektoren
w = [mm] \vektor{3 \\ -1 \\ -1 \\ 1}, v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 5 \\ 1}, v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ -1 \\ -8}, v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -1 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
und entscheiden Sie, ob w [mm] \in span_{\IR}( [/mm] { [mm] v_{1},v_{2},v_{3} [/mm] } ). Ist die Familie [mm] (v_{1},v_{2},v_{3}) [/mm] linear unabhängig? |
Ich habe nun das Ganze als erweiterte Matrix geschrieben, die am Ende folgendermaßen aussieht:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & -1 & |-1 \\ 0 & -5 & 6 & |5 \\ 0 & 0 & -\bruch{61}{5} & |-12 \\ 0 & 0 & 0 & |\bruch{2186}{305} }
[/mm]
Nun kann ich doch sagen, dass die Familie linear abhängig ist, da man über ein [mm] \lambda [/mm] in der Linearkombination nichts Genaues sagen kann, also können alle [mm] \lambda \not= [/mm] 0 sein.
Nehme ich [mm] \lambda_{3} [/mm] = c, so bekomme ich für [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] verschiedene von c abhängige Werte. Somit lässt sich das als Linearkombination darstellen und ist somit im span.
Sind meine Ausführung und Argumentation richtig?
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Hallo Doemmi,
> Betrachten Sie die Vektoren
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> w = [mm]\vektor{3 \\ -1 \\ -1 \\ 1}, v_{1}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 5 \\ 1}, v_{2}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ -1 \\ -8}, v_{3}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ -1 \\ 2 \\ 0}[/mm]
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> und entscheiden Sie, ob w [mm]\in span_{\IR}([/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{
> [mm]v_{1},v_{2},v_{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ). Ist die Familie [mm](v_{1},v_{2},v_{3})[/mm]
> linear unabhängig?
> Ich habe nun das Ganze als erweiterte Matrix geschrieben,
> die am Ende folgendermaßen aussieht:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & -1 & |-1 \\ 0 & -5 & 6 & |5 \\ 0 & 0 & -\bruch{61}{5} & |-12 \\ 0 & 0 & 0 & |\bruch{2186}{305} }[/mm]
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> Nun kann ich doch sagen, dass die Familie linear abhängig
> ist, da man über ein [mm]\lambda[/mm] in der Linearkombination
> nichts Genaues sagen kann, also können alle [mm]\lambda \not=[/mm] 0
> sein.
Es läßt sich etwas genaues über die Familie [mm](v_{1},v_{2},v_{3})[/mm] sagen.
>
> Nehme ich [mm]\lambda_{3}[/mm] = c, so bekomme ich für [mm]\lambda_{1}[/mm]
> und [mm]\lambda_{2}[/mm] verschiedene von c abhängige Werte. Somit
> lässt sich das als Linearkombination darstellen und ist
> somit im span.
Schau Dir die obige Matrix genauer an, insbesondere die letzte Zeile.
>
> Sind meine Ausführung und Argumentation richtig?
Gruß
MathePower
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