Vektoren linear abhängig? < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimme a so, dass die 3 Vektoren [mm] \vektor{3 \\ 1\\a}, \vektor{1 \\ 0\\4} [/mm] und [mm] \vektor{a \\ 2\\1} [/mm] voneinander linear abhängig sind. (ohne GTR) |
Guten Abend allerseits!
Ich steh hier ein bisschen auf dem Schlauch, denn ich habe auch nach mehrerem Rechnen die richtige Lösung noch nicht gefunden.
Ich habe das ganze in ein LGS geschrieben und auf der rechten Seite den Nullvektor genommen, da man so ja prüft, ob Vektoren lin abh./ bzw. unabh. sind. Zum Schluss bekomme ich dann immer eine Gleichung mit a und t und somit kann ich a ausrechnen. Da kommt dann aber jedesmal was andres raus und wenn ich die Probe mache, erhalte ich einen Widerspruch. Könnte mir vielleicht jemand einen Tipp geben, wie ich a genau korrekt erhalten kann?
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
Löcksche
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moin loecksche,
Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn 0 die einzige Lösung des homogenen LGS ist.
Das heißt das a muss so gewählt werden, dass du eben kein t beliebig wählen kannst sondern dass es nur eine eindeutige Lösung (die Null) gibt.
lg
Schadow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Sa 08.10.2011 | | Autor: | loecksche |
Ja, soweit habe ich das verstanden. Und ich habe dann folgendes gemacht:
[mm] \pmat{ 3 & 1 & a \\ 1 & 0 & 4\\ a & 2 &1}=\vektor{0 \\ 0\\ 0} [/mm] als LGS aufgeschrieben.
Wenn ich das dann löse, kommt zum Beispiel beim ersten Versuch heraus:
12r+4s+4at=0, (12-a)r+(4a-1)t=0 und (12-2a)r=0.
In der letzten Gleichung kann ich ja dann für a 6 einsetzen. Wenn ich dann aber weiterrechne bin ich auf dem Holzweg. Weißt du vielleicht, wo der Fehler liegt?
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Also, da die Mitteilung ja auch eine Frage beinhaltet, wäre es nett, wenn mir darauf geantwortet wird, auch wenn im Status zuerst was anderes stand 
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Hallo loeksche,
> Also, da die Mitteilung ja auch eine Frage beinhaltet,
> wäre es nett, wenn mir darauf geantwortet wird, auch wenn
> im Status zuerst was anderes stand
Den Fehler können wir erst finden, wenn Du Deine
bisherigen Rechenschritte postest.
Gruss
MathePower
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Okay, dann mal hier, was ich berechnet habe:
[mm] \pmat{ 3 & 1 & a \\ a & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 2}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ 12 & 4 & 4a \\ a & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 2 }=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ 12 & 4 & 4a \\ 12-a & 0 & (4a-1) \\ 1 & 0 & 2 }=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ 12 & 4 & 4a \\ 12-a & 0 & (4a-1) \\ 2a & 0 & 4a }=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ 12 & 4 & 4a \\ 12-a & 0 & (4a-1) \\ 12-2a & 0 & 0 }=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Dann habe ich in der letzten Zeile (12-2a)r=0 stehen und berechne dann a=6. Ist das denn korrekt?
Vielen dank schonmal für eure Hilfe!!!!!
Grüße!
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Hallo loeksche,
> Okay, dann mal hier, was ich berechnet habe:
> [mm]\pmat{ 3 & 1 & a \\ a & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 2}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 12 & 4 & 4a \\ a & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 2 }=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 12 & 4 & 4a \\ 12-a & 0 & (4a-1) \\ 1 & 0 & 2 }=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
Damit Du das Element 2 an der Stelle (3,3) eliminieren kannst,
ist die 2. Zeile vom [mm]\left(2a-1/2\right)[/mm]-fachen der 3. Zeile zu subtrahieren.
> [mm]\pmat{ 12 & 4 & 4a \\ 12-a & 0 & (4a-1) \\ 2a & 0 & 4a }=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 12 & 4 & 4a \\ 12-a & 0 & (4a-1) \\ 12-2a & 0 & 0 }=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Dann habe ich in der letzten Zeile (12-2a)r=0 stehen und
> berechne dann a=6. Ist das denn korrekt?
> Vielen dank schonmal für eure Hilfe!!!!!
> Grüße!
Gruss
MathePower
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