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| Aufgabe | 1) Zeigen Sie: Jeder Vektor im [mm] R^n [/mm] lässt sich bzgl. einer vorgegebenen Basis eindeutig als Linearkombination darstellen.
2)a) Zeigen Sie, dass die Vektoren [mm] (2,2,0)^t, (1,1,-1)^t, (-1,1,0)^t [/mm] eine Basis des [mm] R^3 [/mm] bilden und stellen Sie [mm] (1,3,0)^t [/mm] als Linearkombination dieser Basisvektoren dar.
b) Ergänzen Sie [mm] (1,0,1)^t, (1,1,1)^t [/mm] zu einer Basis des [mm] R^3. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir jemand bei diesen beiden Aufgaben helfen? Was ist denn genau eine Linearkombination? Und wieso können diese drei Vektoren in der zweiten Aufgabe die Basis des [mm] R^3 [/mm] bilden?
Ich wäre dankbar für jede Hilfe!
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> 1) Zeigen Sie: Jeder Vektor im [mm]R^n[/mm] lässt sich bzgl. einer
> vorgegebenen Basis eindeutig als Linearkombination
> darstellen.
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> 2)a) Zeigen Sie, dass die Vektoren [mm](2,2,0)^t, (1,1,-1)^t, (-1,1,0)^t[/mm]
> eine Basis des [mm]R^3[/mm] bilden und stellen Sie [mm](1,3,0)^t[/mm] als
> Linearkombination dieser Basisvektoren dar.
>
> b) Ergänzen Sie [mm](1,0,1)^t, (1,1,1)^t[/mm] zu einer Basis des
> [mm]R^3.[/mm]
> Kann mir jemand bei diesen beiden Aufgaben helfen? Was ist
> denn genau eine Linearkombination?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Was wurde denn zu diesem Thema in der Vorlesung gesagt, bzw. was steht im Skript?
Wenn Du einen Vektorraum V über K hast, dann ist jede endliche Summe, deren Summanden aus dem Produkt jeweils eines Körperelementes mit einem Vektor bestehen, eine Linearkombination.
Beispiel:
Ist V ein VR über [mm] \IR, [/mm] und sind [mm] v_1, v_2, v_3 \in [/mm] V, so ist z.B.
[mm] 2*v_1+3*v_2+4*v_3 [/mm] eine Linearkombination v. [mm] v_1, v_2, v_3.
[/mm]
Es ist [mm] 2*v_1+3*v_2+4*v_3\in [/mm] V.
> Und wieso können diese
> drei Vektoren in der zweiten Aufgabe die Basis des [mm]R^3[/mm]
> bilden?
Welchen Hinderungsgrund siehst Du?
Was ist eine Basis? Wie ist das definiert?
War der Dimensionsbegriff schon dran?
Wie ist lineare Unabhängigkeit definiert?
Wenn Du solche Aufgabe lösen willst, mußt Du unbedingt die Definitionen können.
Wenn Du sie dastehen hast, kann man sie mit Leben füllen. Aber ohne Definitionen kann man gleich einpacken.
Zu den Aufgaben:
1) Schau Dir an, was eine Basis ist. Wenn Du das weißt, wird es Dich nicht wundern, daß man jeden Vektor als Linearkombination einer solchen darstellen kann.
Der Knackpunkt der Aufgabe ist die Eindeutigkeit. Nimm an, daß es zwei Darstellungen gibt und führe das zum Widerspruch. (Du kannst's ja zum Warmwerden erstmal für den [mm] \IR^2 [/mm] machen.)
2) Falls der Dimensionsbegriff dran war, brauchst Du nur die Lineare Unabhängigkeit zu zeigen.
Danach suchst Du a,b,c [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] a(2,2,0)^t+b1,1,-1)^t+c(-1,1,0)^t=(1,3,0)^t.
[/mm]
3) Du mußt einen Vektor v finden, so daß [mm] v,(1,0,1)^t, (1,1,1)^t [/mm] linear unabhängig sind.
Gruß v. Angela
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