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| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob die Punkte P,O,R ein Dreieck bilden: P(1/4/-3)
Q(-6/4/0)
R(-1/-1/2) |
Hallo,
ich schreibe am Montag eine Mathe LK-Klausur und ich jetzt leider ein wenig überfordert mit dem thema Vektoren und Co.
In der obengenannten Aufgaben muss ich überprüfen, ob die drei Punkte ein Dreieck bilden! Jetzt frage ich mich, welche Methode da anwenden muss:
Das muss doch etwas Nichttriviales sein, oder? Deshalb muss man gucken, ob die drei Punkte auf einer Gerade liegen und falls dieser Fall vorliegt, dann können sie gar nicht ein Dreieck bilden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Fr 03.06.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Überprüfen Sie, ob die Punkte P,O,R ein Dreieck bilden:
> P(1/4/-3)
> Q(-6/4/0)
> R(-1/-1/2)
> Hallo,
>
> ich schreibe am Montag eine Mathe LK-Klausur und ich jetzt
> leider ein wenig überfordert mit dem thema Vektoren und
> Co.
>
> In der obengenannten Aufgaben muss ich überprüfen, ob die
> drei Punkte ein Dreieck bilden! Jetzt frage ich mich,
> welche Methode da anwenden muss:
>
> Das muss doch etwas Nichttriviales sein, oder?
das ist immer die Frage, was man unter trivial versteht oder nicht. Ich selbst empfinde die Aufgabe als fasttrivial.
> Deshalb muss
> man gucken, ob die drei Punkte auf einer Gerade liegen und
> falls dieser Fall vorliegt, dann können sie gar nicht ein
> Dreieck bilden.
Genau. Anders gesagt: Hältst Du einen Punkt fest (etwa [mm] $P\,$) [/mm] und schaust Dir an, wie es mit den "Differenzvektoren" zu diesem Punkt, gebildet durch die beiden verbleibenden Punkte, ausschaut (hier wären, bzgl. des festgehaltenen Punktes [mm] $P\,$ [/mm] also die Vektoren [mm] $\vec{PQ}$ [/mm] und [mm] $\vec{PR}$ [/mm] zu betrachten), so kannst Du Dir überlegen, dass man genau dann ein nichtentartetes Dreieck vorliegen hat, wenn die beiden oben genannten Differenzvektoren eine Ebene aufspannen (Ebenen haben stets Dimension [mm] $2\,$), [/mm] also linear unabhängig sind.
Falls Dich die Begriffe zu sehr verwirren, mach' Dir eine Skizze:
Halte einen Punkt eines Dreiecks fest. Wenn ein echtes Dreieck vorliegt (d.h. die Eckpunkte liegen nicht auf einer gemeinsamen Geraden), so dürfen die beiden Vektoren, die so gebildet werden, dass man den Differenzvektor zwischen einem (noch nicht benutzen) Eckpunkt zu dem festgehaltenen Eckpunkt berechnet, nicht linear abhängig sein; und genau dann, wenn sie linear abhängig sind, liegt ein entartetes Dreieck vor, d.h. alle Eckpunkte des Dreieck liegen auf einer gemeinsamen Geraden und das Dreieck hat, im entarteten Falle also, quasi den Flächeninhalt 0.
Die Lösung Deiner Aufgabe besteht also darin, etwa herauszufinden, ob die beiden Vektoren
[mm] $$\vec{PQ}=\vec{Q}-\vec{P}=\vektor{-6-1\\4-4\\0-(-3)}=\vektor{-7\\0\\3}$$
[/mm]
und
[mm] $$\vec{PR}=\vec{R}-\vec{P}=\vektor{-1-1\\-1-4\\2-(-3)}=\vektor{-2\\-5\\5}$$
[/mm]
linear abhhängig sind oder nicht. Falls sie es nicht sind, liegt ein (echtes) Dreieck vor (nichtentartet); falls sie es sind, liegt kein echtes Dreieck vor (sondern ein entartetes).
Hier sieht man sofort, dass die beiden Vektoren linear unabhängig sein müssen. (Warum?) Also?
Beste Grüße,
Marcel
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Hey Marcel,
danke erstmal für diese Erklärung, aber jetzt versuche ich mal das wiederzugebe, was Du versucht hast mir nahe zu bringen:
Also falls man irgendwelche Punkte hat und die aufgabe nun lautet, ob sie auf einer bestimmen Gerade liegen, muss man erstmal schauen, ob diese linear abhängig sind und falls das zutrifft, muss ich die Vektoren in eine Parametergleichung umformen, damit ich klären kann, ob diese dann parallel oder tatsächlich auf der Geraden liegen?
Ich hoffe, ich liege richtig, wenn nicht, dann sofort korrigieren!
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Hallo,
wenn die von Marcel aufgezeigten Vektoren linear abhängig sind, dann bist du doch schon fertig. Es braucht ann keine Geradengleichung mehr, es sei denn, diese wäre explizit verlangt.
Es bieten sich alternativ u.a. folgende Lösungswege an (die je nach aktuellem Schulstoff hier auch von der Lehrkraft bevorzugt werden könnten, was du aber ja selbst am besten weißt):
- Untersuche die Ortsvektoren der drei Punkte auf lineare Unabhängigkeit. Ist dise gegeben, bilden die Punkte ein Dreieck, sonst liegen sie auf einer Geraden oder sie fallen sogar (teilweise) zusammen.
- Stelle für zwei der drei Punkte eine Geradengleichung in Parameterform auf und prüfe durch Einsetzen, ob der dritte Punkt auf dieser Geraden liegt.
Selbstverständlich sind alle drei Rechenverfahren äquivalent und damit richtig, aber manchmal möchten Lehrer eben denjenigen Lösungsweg sehen, der am ehesten mit dem aktuell durchgenommenen Stoff zu tun hat.
Gruß, Diophant
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