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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Sa 18.12.2004 | | Autor: | newbie |
Mh, also ich habe mal wieder mehrere Frage, nun zur ersten Aufgaben, wo ich zwar einen vollständigen Lösungsweg habe, aber mir etwas sehr unsicher bin, ob das geht:
1. Man zeige, dass in einem Vektorraum V im Skalarprodukt [mm] ||\vec{x}+\vec{y}||^{2}+||\vec{x}-\vec{y}||^{2} [/mm] = 2 [mm] ||\vec{x}||^{2} [/mm] + 2 [mm] ||\vec{y}||^{2} [/mm] Gilt. Dabei sei die Norm durch das Skalarprodukt erzeugt, d.h. [mm] ||\vec{x}||= \wurzel{\vec{x}*\vec{y}}
[/mm]
[mm] ||\vec{x}+\vec{y}||^{2}+||\vec{x}-\vec{y}||^{2} [/mm] = [mm] |\vec{x}+\vec{y}|*|\vec{x}+\vec{y}| [/mm] + [mm] |\vec{x}-\vec{y}|*|\vec{x}-\vec{y}|
[/mm]
= [mm] ||\vec{x}||^{2} [/mm] + [mm] ||\vec{y}||^{2} [/mm] + [mm] 2||\vec{x}\vec{y}|| [/mm] + [mm] ||\vec{x}||^{2} [/mm] + [mm] ||\vec{y}||^{2} -2||\vec{x}\vec{y}|| [/mm] = 2 [mm] ||\vec{x}||^{2} [/mm] + 2 [mm] ||\vec{y}||^{2}
[/mm]
(PS: wie muss ich eigentlich dieses ||x|| behandeln, kann man wie oben einfach so damit rechnen oder was bedeutet es eigentlich im Zusammenhand mit normierten Räumen?)
2. Man bestimme den Rang der Matrizen A ...
Also, ersteinmal dürfte es doch nur einen Rang bei quadratischen Matrizen geben, oder? In diesem Falle würde folgende Matrix in Frage kommen:
[mm] \pmat{ 5 & 8 & -4 \\ 6 & 9 & -5 \\ 4 & 7 & -3 }
[/mm]
So, und nun hatten wir das Problem, was genau ist ein Rang?
In der Mathematik die Dimension des Zeilenraums/Spaltenraums einer Matrix; bzw. die maximale Anzahl an linear unabhängigen Spalten/Zeilen, oder auch der Rang einer abelschen Gruppe
Das ist so das aussagekräftigste, das ich gefunden habe, aber ich kann mir immer noch nichts darunter vorstellen :-( Wir haben die Matrix ersteinmal soweit umgeformt, bis folgendes entstand:
[mm] \pmat{ 5 & 8 & -4 \\ 0 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
So, und nun haben wir gesagt, die Matrix habe den Rang zwei, da in der nun entstandenen Hauptdiagonale zweimal eine NichtNull vorkommt... ist das so ok? Falls nicht, wäre ich über ein Beispiel dies bezüglich sehr froh 
Diese beiden Aufgaben sind mir am wichtigsten, wenn jemand noch Muße hat, kann er mir ja bei folgenden Aufgaben vielleicht einen Denkanstoß geben:
Man weise nach, dass im Raum [mm] R^{n} [/mm] durch den [mm] Ausdruck||\vec{x}||_{\infty} [/mm] = [mm] max_{1\le i \le n}|x_{i}| [/mm] wobei [mm] \vec{x}=\vektor{x_{1} \\ ... \\ x{n}} [/mm] eine Norm definiert wird
Und analog zum Ausdruck [mm] ||\vec{x}||_{1}= \summe_{i=1}^{n}|x_{i}|
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Halli hallo!
> 1. Man zeige, dass in einem Vektorraum V im Skalarprodukt
> [mm]||\vec{x}+\vec{y}||^{2}+||\vec{x}-\vec{y}||^{2}[/mm] = 2
> [mm]||\vec{x}||^{2}[/mm] + 2 [mm]||\vec{y}||^{2}[/mm] Gilt. Dabei sei die
> Norm durch das Skalarprodukt erzeugt, d.h. [mm]||\vec{x}||= \wurzel{\vec{x}*\vec{y}}
[/mm]
>
>
> [mm]||\vec{x}+\vec{y}||^{2}+||\vec{x}-\vec{y}||^{2}[/mm] =
> [mm]|\vec{x}+\vec{y}|*|\vec{x}+\vec{y}|[/mm] +
> [mm]|\vec{x}-\vec{y}|*|\vec{x}-\vec{y}|
[/mm]
> = [mm]||\vec{x}||^{2}[/mm] + [mm]||\vec{y}||^{2}[/mm] + [mm]2||\vec{x}\vec{y}||[/mm]
> + [mm]||\vec{x}||^{2}[/mm] + [mm]||\vec{y}||^{2} -2||\vec{x}\vec{y}||[/mm] =
> 2 [mm]||\vec{x}||^{2}[/mm] + 2 [mm]||\vec{y}||^{2}
[/mm]
also das geht so nicht, denn die 2er-Norm ist ja nicht das Produkt zweier Beträge sondern definiert eine eigene sozusagen Funktion, die wie folgt aussieht
[mm] ||\vec{x}||^2= \wurzel{\vec{x}^2}
[/mm]
Das heißt, bei der 2er-norm werden alle quadrierten einträge des vektors addiert, daraus wird die wurzel gezogen und liefert so den gesuchten wert.
analog gilt natürlich auch [mm] ||\vec{x}+\vec{y}||^2= \wurzel{(\vec{x}+\vec{y})^2}
[/mm]
Das heißt für deinen Fall gilt dann also
[mm] ||\vec{x}+\vec{y}||^{2}+||\vec{x}-\vec{y}||^{2}
[/mm]
[mm] =\wurzel{(\vec{x}+\vec{y})^2}+\wurzel{(\vec{x}-\vec{y})^2}
[/mm]
[mm] =(\vec{x}+\vec{y})^2+(\vec{x}-\vec{y})^2
[/mm]
von hier kommst du nun ja sicher selbst weiter ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. Man bestimme den Rang der Matrizen A ...
>
> Also, ersteinmal dürfte es doch nur einen Rang bei
> quadratischen Matrizen geben, oder?
Nein, jede Matrix hat einen Rang!
Der Rang einer Matrix gibt an, wieviele unabhängige Zeilen/Spalten sie enthält! Das wars eigentlich schon! und das kannst du mit jeder beliebigen matrix machen! es gibt übrigens einen satz, der besagt dass der zeilenrang immer gleich dem spaltenrang ist, dass heißt wenn du eine 3x19 matrix gegeben hast, und diese hat den zeilenrang 2, dann hat sie auch den spaltenrang 2. daraus siehst du, dass der maximale rang einer matrix kleiner gleich dem minimum aus zeilen - und spaltenanzahl ist.
Was dir das bringt:
wenn du z.B. eine 3x3 matrix hast, so kannst du schauen, ob diese Vektoren, die diese MAtrix bilden, eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] bilden, indem du prüfst, ob der zeilenrang=spaltenrang=3 ist, wenn ja ist es eine, denn es handelt sich um drei linear unabhängige vektoren, wenn er kleiner als drei ist, handelt es sich also um ein linear abhängiges System und somit nicht um eine basis des [mm] \IR^3!
[/mm]
> In diesem Falle würde
> folgende Matrix in Frage kommen:
> [mm]\pmat{ 5 & 8 & -4 \\ 6 & 9 & -5 \\ 4 & 7 & -3 }
[/mm]
>
> So, und nun hatten wir das Problem, was genau ist ein
> Rang?
> In der Mathematik die Dimension des
> Zeilenraums/Spaltenraums einer Matrix; bzw. die maximale
> Anzahl an linear unabhängigen Spalten/Zeilen, oder auch der
> Rang einer abelschen Gruppe
> Das ist so das aussagekräftigste, das ich gefunden habe,
> aber ich kann mir immer noch nichts darunter vorstellen :-(
> Wir haben die Matrix ersteinmal soweit umgeformt, bis
> folgendes entstand:
>
> [mm]\pmat{ 5 & 8 & -4 \\ 0 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
>
> So, und nun haben wir gesagt, die Matrix habe den Rang
> zwei, da in der nun entstandenen Hauptdiagonale zweimal
> eine NichtNull vorkommt... ist das so ok? Falls nicht, wäre
> ich über ein Beispiel dies bezüglich sehr froh
Das ist richtig, der Rang der matrix ist 2! der letzte Vektor läßt sich also mit hilfe der ersten beiden darstellen und ist im rahmen des gauß-verfahrens, das du ja angewendet hast, weggefallen!
mit den zwei nullen in der hauptdiagnale wäre ich sehr vorsichtig; in deinem beispiel stimmt dies, aber auch die matrix
[mm] \pmat{ 5 & 8 & -4 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] hat den rang 2, obwohl zwei Nullen in der hauptdiagonale stehen!
Wichtig ist, wieviele Zeilen bzw. spalten komplett verschwinden, also zu null werden; danach richtet sich die bestimmung des ranges!
> Diese beiden Aufgaben sind mir am wichtigsten, wenn jemand
> noch Muße hat, kann er mir ja bei folgenden Aufgaben
> vielleicht einen Denkanstoß geben:
>
> Man weise nach, dass im Raum [mm]R^{n}[/mm] durch den
> [mm]Ausdruck||\vec{x}||_{\infty}[/mm] = [mm]max_{1\le i \le n}|x_{i}|[/mm]
> wobei [mm]\vec{x}=\vektor{x_{1} \\ ... \\ x{n}}[/mm] eine Norm
> definiert wird
>
> Und analog zum Ausdruck [mm]||\vec{x}||_{1}= \summe_{i=1}^{n}|x_{i}|
[/mm]
also hier müßtest du nur die Eigenschaften von normen nachweisen (ich hab da so in erinnerung dass es da solche gab, nur hab ich grad nicht die möglichkeit nachzuschauen)
Bei der maximumsnorm wählst du aus deinem Vektor ja immer den größten Eintrag, und bei der 1-er Norm addierst du einfach die beträge aller einträge!
Wenn du probleme damit hast schreib doch noch mal die anforderungen an normen auf, und dann sehen wir weiter!
Liebe Grüße und noch einen schönen abend
Ulrike
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:15 So 19.12.2004 | | Autor: | newbie |
Ersteinmal ein riesengroßes Dankeschön für die Arbeit, die du dir hier mit mir gemacht hast
Habe ich das dann so richtig verstanden, es gilt ja [mm] ||\vec{x}|| [/mm] = [mm] \wurzel{\vec{x}\vec{x}} [/mm] (hatte mich wohl am Anfang verschrieben...) und somit gilt auch automatisch [mm] ||\vec{x}+\vec{y}|| [/mm] = [mm] \wurzel{(\vec{x}+\vec{y})^{2}} [/mm] was ich hier nun bequem anwenden kann:
[mm] ||\vec{x}+\vec{y}||^{2} [/mm] + [mm] ||\vec{x}-\vec{y}||^{2} [/mm] = [mm] \wurzel{(\vec{x}+\vec{y})^{4}} [/mm] + [mm] \wurzel{(\vec{x}-\vec{y})^{4}} [/mm] = [mm] (\vec{x}+\vec{y})^{2} [/mm] + [mm] (\vec{x}-\vec{y})^{2} [/mm] = [mm] \vec{x}^{2} [/mm] + [mm] 2\vec{x}\vec{y} [/mm] + [mm] \vec{y}^{2} [/mm] + [mm] \vec{x}^{2} [/mm] - [mm] 2\vec{x}\vec{y} [/mm] + [mm] \vec{y}^{2} [/mm] = [mm] 2\*\vec{x}^{2} [/mm] + [mm] 2\*\vec{y}^{2} [/mm] und das ist laut Definition wieder [mm] 2||\vec{x}||^{2} [/mm] + [mm] 2||\vec{y}||^{2}
[/mm]
Wenn das jetzt stimmt, dann habe ich es verstanden
Was die Ränge betrifft, so habe ich mal noch folgende Matrizen so "durchgerechnet", ist dass dann so ok und gibt es eventuell eine besseres/ schnellere Methode dafür?
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 4} [/mm] (2. Zeile mal -2 und auf 3. Zeile addiert)
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 3 & 3 & 4} [/mm] (2. Zeile mal -3 und auf letzte addiert)
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -2} [/mm] (1. Zeile auf 3. addieren)
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2} [/mm] (1. Zeile mal 2 und auf letzte addiert)
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] und weiter kommt man ja nicht, d.h. die Matrix hat den Rang 2.
[mm] \pmat{ -1 & -1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 1} [/mm] Naja, müste eigentlich den Rang eins haben, da immer eine Zeile sozusagen übrig bleibt (kann es demnach den Rang Null überhaupt geben abgesehen von einer Matrix aus nur Nullen?)
[mm] \pmat{ 4 \\ 1 } [/mm] Ähm, Rang 1
Dank deiner ersten Sätzen kann ich die andere Aufgabe jetzt viel besser verstehen, also folgende Bedingungen müssen für die Norm erfült sein:
* (i) ||x|| [mm] \ge [/mm] 0 (Positivität);
* (ii) ||x|| = 0 [mm] \gdw [/mm] x = 0 (Definitheit);
* (iii) [mm] ||\alpha\*x|| [/mm] = [mm] |\alpha|\*||x|| [/mm] (Homogenität);
* (iv) ||x + y|| [mm] \ge [/mm] ||x|| + ||y|| (die Dreiecksungleichung).
Hm, so richtig weiß ich da auch nicht weiter, ok Positivität und Definitheit müssten ja auf jeden Fall erfüllt sein, durch die Betragsstriche ist es immer größergleich Nulle und wenn der größte Eintrag Null ist, dann ist auch x Null und wenn die Summe der Beträge Null ist, ist x auch null... wenn man das so sagen kann, aber wie schon angedeutet, ich kann mir da noch nicht wirklich etwas vorstellen. Wenn ich noch einen Faktor bei meinem Vektor habe, so ist es egal, ob ich z.B. zuerst den größten Eintrag ermittle und und dann mal den Betrag des Faktors rechne, oder ob ich zuerst den Faktor mit meinen Einträge multipliziere und dann das größte Element auswähle... gleiches müsste dann für die addition gelten :-/ Soweit richtig? Aber wie nachweißen? Einen allgemeinen Vektor nehmen [mm] \vektor{x_{1} \\ ... \\ x_{n}} [/mm] und sagen [mm] x_{n} [/mm] sei größtes Element im Vektor und dann mit [mm] \alpha [/mm] vorrechnen? Hm... so richtig komme ich da jetzt nicht weiter.
Desweiteren hatten wir noch die Aufgabe: beschreiben sie im Raum [mm] R^{2} [/mm] diejenige Punktmenege, die den bedingungen [mm] ||x||_{1}\le1 [/mm] bzw. [mm] ||x||_{
\infty} [/mm] genügen.
Also es wäre ja ein Kreis mit dem Radius eins um den Koordinatenursprung, da ja sozusagen nur Vektoren in Frage kommen, die aus nullen mit entweder höchstens einer eins oder mit höchstens einer -1 bestehen. Also NUR (0,0) (0,1) (1,0) (0,-1) (-1,0) wobei ich dann davon ausgehen würde, das die Einträge zu den ganzen Zahlen gehören, obwohl davon ja nie was gesagt wurde...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:03 Mi 22.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo newbie!
> Habe ich das dann so richtig verstanden, es gilt ja
> [mm]||\vec{x}||[/mm] = [mm]\wurzel{\vec{x}\vec{x}}[/mm] (hatte mich wohl am
> Anfang verschrieben...) und somit gilt auch automatisch
> [mm]||\vec{x}+\vec{y}||[/mm] = [mm]\wurzel{(\vec{x}+\vec{y})^{2}}[/mm] was
> ich hier nun bequem anwenden kann:
> [mm]||\vec{x}+\vec{y}||^{2}[/mm] + [mm]||\vec{x}-\vec{y}||^{2}[/mm] =
> [mm]\wurzel{(\vec{x}+\vec{y})^{4}}[/mm] +
> [mm]\wurzel{(\vec{x}-\vec{y})^{4}}[/mm] = [mm](\vec{x}+\vec{y})^{2}[/mm] +
> [mm](\vec{x}-\vec{y})^{2}[/mm] = [mm]\vec{x}^{2}[/mm] + [mm]2\vec{x}\vec{y}[/mm] +
> [mm]\vec{y}^{2}[/mm] + [mm]\vec{x}^{2}[/mm] - [mm]2\vec{x}\vec{y}[/mm] + [mm]\vec{y}^{2}[/mm] =
> [mm]2\*\vec{x}^{2}[/mm] + [mm]2\*\vec{y}^{2}[/mm] und das ist laut Definition
> wieder [mm]2||\vec{x}||^{2}[/mm] + [mm]2||\vec{y}||^{2}
[/mm]
> Wenn das jetzt stimmt, dann habe ich es verstanden
Es stimmt.
> Was die Ränge betrifft, so habe ich mal noch folgende
> Matrizen so "durchgerechnet", ist dass dann so ok und gibt
> es eventuell eine besseres/ schnellere Methode dafür?
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 4}[/mm]
> (2. Zeile mal -2 und auf 3. Zeile addiert)
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 3 & 3 & 4}[/mm]
> (2. Zeile mal -3 und auf letzte addiert)
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -2}[/mm]
> (1. Zeile auf 3. addieren)
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2}[/mm]
> (1. Zeile mal 2 und auf letzte addiert)
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
> und weiter kommt man ja nicht, d.h. die Matrix hat den Rang
> 2.
> [mm]\pmat{ -1 & -1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 1}[/mm] Naja, müste eigentlich
> den Rang eins haben, da immer eine Zeile sozusagen übrig
> bleibt (kann es demnach den Rang Null überhaupt geben
> abgesehen von einer Matrix aus nur Nullen?)
, vollkommen korrekt
> [mm]\pmat{ 4 \\ 1 }[/mm] Ähm, Rang 1
>
> Dank deiner ersten Sätzen kann ich die andere Aufgabe jetzt
> viel besser verstehen, also folgende Bedingungen müssen für
> die Norm erfült sein:
> * (i) ||x|| [mm]\ge[/mm] 0 (Positivität);
> * (ii) ||x|| = 0 [mm]\gdw[/mm] x = 0 (Definitheit);
> * (iii) [mm]||\alpha\*x||[/mm] = [mm]|\alpha|\*||x||[/mm]
> (Homogenität);
> * (iv) ||x + y|| [mm]\ge[/mm] ||x|| + ||y|| (die
> Dreiecksungleichung).
Hier ist das Ungleichheitszeichen verkehrt herum. Richtig muss es lauten;
[mm] $\Vert [/mm] x +y [mm] \Vert \le \Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] + [mm] \Vert [/mm] y [mm] \Vert$.
[/mm]
> Hm, so richtig weiß ich da auch nicht weiter, ok
> Positivität und Definitheit müssten ja auf jeden Fall
> erfüllt sein, durch die Betragsstriche ist es immer
> größergleich Nulle und wenn der größte Eintrag Null ist,
> dann ist auch x Null und wenn die Summe der Beträge Null
> ist, ist x auch null...
Schreib das jetzt noch in Formeln hin, und es ist okay.
> wenn man das so sagen kann, aber
> wie schon angedeutet, ich kann mir da noch nicht wirklich
> etwas vorstellen. Wenn ich noch einen Faktor bei meinem
> Vektor habe, so ist es egal, ob ich z.B. zuerst den größten
> Eintrag ermittle und und dann mal den Betrag des Faktors
> rechne, oder ob ich zuerst den Faktor mit meinen Einträge
> multipliziere und dann das größte Element auswähle...
> gleiches müsste dann für die addition gelten :-/
Nein, dort gilt ja keine Gleichheit. Aber wegen
[mm] $\vert x_i [/mm] + [mm] y_i \vert \le \vert x_i \vert [/mm] + [mm] \vert y_i \vert$
[/mm]
folgen die Dreiecksungleichungen aus denen, die für den Betrag in [mm] $\IR$ [/mm] (bekanntlich) gelten.
> Soweit
> richtig? Aber wie nachweißen? Einen allgemeinen Vektor
> nehmen [mm]\vektor{x_{1} \\ ... \\ x_{n}}[/mm] und sagen [mm]x_{n}[/mm] sei
> größtes Element im Vektor und dann mit [mm]\alpha[/mm] vorrechnen?
Einfach nur das in Formeln schreiben, was du schon in Prosa geschrieben hast:
[mm] $\Vert \alpha [/mm] x [mm] \Vert_{\infty}= \max\{|\alpha x_i|\, : \, i=1,\ldots,n\} [/mm] = [mm] \max\{|\alpha| \cdot |x_i|\, : \, i=1,\ldots,n\} [/mm] = [mm] |\alpha| \cdot \max\{|x_i|\, : \, i=1,\ldots,n\} [/mm] = [mm] |\alpha| \cdot \Vert [/mm] x [mm] \Vert_{\infty}$.
[/mm]
> Desweiteren hatten wir noch die Aufgabe: beschreiben sie im
> Raum [mm]R^{2}[/mm] diejenige Punktmenege, die den bedingungen
> [mm]||x||_{1}\le1[/mm] bzw. [mm]||x||_{
\infty}[/mm] genügen.
Du findest die Bilder zum Beispiel ![[]](/images/popup.gif) hier (Abbildung 8.2 und Abbildung 8.3).
Viele Grüße
Julius
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