Vektoren < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Sa 29.09.2007 | | Autor: | raynes |
| Aufgabe | zeige, dass die vier vektoren aus [mm] \IR^5 [/mm] linear unabhängig sind. bestimme einen fünften vektor so, dass insgesamteine basis von [mm] \IR^5 [/mm] vorliegt.
[mm] \pmat{ 2 \\ -1 \\ 1 \\ 3 \\ 1 } [/mm] , [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 } [/mm] , [mm] \pmat{ 2 \\ 9 \\ 5 \\ 0 \\ 3 } [/mm] , [mm] \pmat{ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 } [/mm] |
wie man die unabhängigkeit zeigt ist mir klar (alles gleich 0. beim gauß-verfahren darf sich keine nullzeile ergeben). aber wie bestimmt man den fünften vektor? er muss ja unabhängig sein also darf keine nullzeile entstehen , aber wie mach ich das? kann mir jemand helfen?! danke im voraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:32 So 30.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
wie man einen 5. linear unabhängigen Vektor findet, damit insgesamt eine Basis des [mm] \IR^5 [/mm] ensteht. Mir fällt jetzt nur eines ein, dass ist hier aber - meines Erachtens - unmenschlich.
Ich hätte es so gemacht:
[mm] \pmat{ 2 \\ -1 \\ 1 \\ 3 \\ 1 } ,\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 },\pmat{ 2 \\ 9 \\ 5 \\ 0 \\ 3 },\pmat{ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 }
[/mm]
zusätzlich hätte ich noch die Einheitsbasis von [mm] \IR^5 [/mm] genommen und auf diese insgesamt neun Vektoren Gauß angewandt. Ein "einfacher" Weg fällt mir im Moment nicht ein.
Aber in diesem Falle, ist das doch sehr umständlich.
Versuche es doch einmal mit dem Vektor [mm] v=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] als 5. linear unabhängigen Vektor.
Wende Gauß an und zeige, dass keine Nullzeile ensteht.
MfG barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 So 30.09.2007 | | Autor: | raynes |
wieso 9 vektoren??? was ist denn die einheitsbasis von [mm] \IR^5 [/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 So 30.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
die Einheitsbasis von [mm] \IR^5 [/mm] ist:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
MfG barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 So 30.09.2007 | | Autor: | raynes |
okay, vielen dank! dann werd ich also immer einen vektor der einheitsbasis nehmen. danke!
|
|
|
| |
|
> zeige, dass die vier vektoren aus [mm]\IR^5[/mm] linear unabhängig
> sind. bestimme einen fünften vektor so, dass insgesamteine
> basis von [mm]\IR^5[/mm] vorliegt.
> [mm]\pmat{ 2 \\ -1 \\ 1 \\ 3 \\ 1 }[/mm] , [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 }[/mm]
> , [mm]\pmat{ 2 \\ 9 \\ 5 \\ 0 \\ 3 }[/mm] , [mm]\pmat{ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 }[/mm]
>
> wie man die unabhängigkeit zeigt ist mir klar (alles gleich
> 0. beim gauß-verfahren darf sich keine nullzeile ergeben).
> aber wie bestimmt man den fünften vektor? er muss ja
> unabhängig sein also darf keine nullzeile entstehen , aber
> wie mach ich das? kann mir jemand helfen?! danke im voraus
Hallo,
ich weiß jetzt leider nicht genau, wie Du auf lineare Unabhängigkeit prüfst, aus dem, was Du schreibst, reime ich mir aber zusammen, daß Du die gegebenen Vektoren als Zeilen in eine Matrix einträgst, und die Matrix dann auf Zeilenstufenform bringst.
Da Du eine Basis des [mm] \IR^5 [/mm] suchst, müssen Deine 4 Vektoren durch einen der Standardbasisvektoren zu einer Basis des [mm] \IR^5 [/mm] zu ergänzen sein. (Basisaustauschsatz)
Nun nimmst Du einfach Deine umgeformte Matrix und guckst nach, welchen der Einheitsvektoren Du zwischenschieben kannst, damit die Matrix, die dann eine 5x5 Matrix ist, den Rang 5 hat.
Hast Du z.b. umgeformt zu [mm] \pmat{ \* & \* &\*& \*& \* \\ 0 & \* &\*& \*& \*\\ 0& 0 &0& \*& \*\\ 0& 0 &0& 0& \*}, [/mm] (Diagonalelemente [mm] \not=0),
[/mm]
bekommmst Du durch Einschieben von [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }^{T}
[/mm]
[mm] \pmat{ \* & \* &\*& \*& \* \\ 0 & \* &\*& \*& \*\\ 0& 0 &1& 0& 0\\ 0& 0 &0& \*& \*\\ 0& 0 &0& 0& \*}, [/mm] also ein linear unabhängiges System.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
