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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 So 24.09.2006 | | Autor: | Ayhan |
| Aufgabe | Aufgabe 1.)
Gegeben sind die Punkte:
A(0/0/0); B(4/2/1); C(3/-2/5); D(7/2/-8)
Drücke die Seiten und Diagonalen dieses räumlichen Vierecks durch Vektoren aus.
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Hallo zusammen ,
vektor rechnung ist was neues für mich .Seit gut 4 wochen arbeiten wir mit vektoren und kann das vorgehen nicht so recht verstehen vor allem wie man es angeht und zu lösungen gelangt.
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Aufgabe 1.)
Gegeben sind die Punkte:
A(0/0/0); B(4/2/1); C(3/-2/5); D(7/2/-8)
Drücke die Seiten und Diagonalen dieses räumlichen Vierecks durch Vektoren aus.
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Aufgabe 2.)
Prüfe folgende Vektoren auf Kollinearität.
(Der Begriff Kollinear ,darunter verstehe ich das alle vektoren eine andere richtung haben zb. nach- oben ,unten,links bzw.nach rechts,also linear unabhangig und nicht auf einer ebene liegend.ist das richtig???)
a) [mm] a=\vektor{3 \\ 7 \\ 4} [/mm] ; [mm] b=\vektor{9 \\ 21 \\ 12}
[/mm]
b) [mm] a=\vektor{-4 \\ 6 \\ 8} [/mm] ; [mm] b=\vektor{2 \\ -3 \\ -4}
[/mm]
c) [mm] a=\vektor{12 \\ -6 \\ 9} [/mm] ; [mm] b=\vektor{-16 \\ -8 \\ 12}
[/mm]
d) [mm] a=\vektor{ \bruch{4}{5}\\ 6\\-\bruch{3}{4}} ;b=\vektor{-\bruch{8}{15} \\ -4 \\ \bruch{1}{2}} [/mm]
Vektoren werden ja wohl mit einem pfeil auf den buchstaben dargestellt ,dies aufgaben sind orginal aus meinem mathebuch ,genau so steht es in meinem buch.Sind nun die buchstaben a und b auch vektoren obwohl kein pfeil darüber ist???
Wie löst man soche aufgaben ,diese sind keine Hausaufgaben von mir,die hatten wir mal kurz in der schule angesprochen und 1 bis 2 davon ausgerechnet.Leider habe ich das nicht verstehen können.
Will sie eben lernen /können.
Bitte um Eure hilfe !!! Vor allem den weg den man dabei geht,schritt für schritt bitte nichts überspringen und so.
Lg
Ayhan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 So 24.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ayhan
Vektoren geben in ihrer Komponentenschreibweise eine gerichtete Strecke an.
die 3 Komponenten geben an, wie weit man in x,y,z_Richtung jeweils gehen muss. Punkte kann man als Vektoren, die immer am oPunkt anfangen verstehen. die Seite eines 4-Ecks anzugeben, zBsp die Seite AB heisst also wie weit muss ich von A aus in x,y,z Richtung gehen um bei B anzukommen
Das ist weil ja [mm] A=\vektor{0 \\ 0\\0}ist [/mm] ganz einfach, nämlich [mm] AB=B-A=\vektor{4 \\ 2\\1}
[/mm]
von B nach C: [mm] C-B=\vektor{3-4 \\ -2-2\\5-1}=\vektor{-1\\ -4\\4}
[/mm]
entsprechend CD und DA. Die Diagonalen sind dann auf dieselbe Art AC und BD
Ich hoff das kannst du jetzt.
2 Vektoren a,b sind lin. UNabhängig wenn es keine Zahlen r,s ausser r=s=0
so dass r*a+s*b=0 Wenn es so Zahlen gibt muss ja gelten : a=q*b mit q=-s/r
also musst du nur untersuchen obs so ein q gibt.
man kann immer durch einen Faktor die erste Komponente gleich machen.
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> Aufgabe 2.)
>
> Prüfe folgende Vektoren auf Kollinearität.
>
> (Der Begriff Kollinear ,darunter verstehe ich das alle
> vektoren eine andere richtung haben zb. nach- oben
> ,unten,links bzw.nach rechts,also linear unabhangig und
> nicht auf einer ebene liegend.ist das richtig???)
Du hast das verwechselt, kollinear sind sie, wenn sie die gleiche Richtung haben, also man sie alle auf eine Linie zeichnen kann! das ist bei 2 Vektoren also dasselbe wie lin ABHÄNGIG!
> a) [mm]a=\vektor{3 \\ 7 \\ 4}[/mm] ; [mm]b=\vektor{9 \\ 21 \\ 12}[/mm]
Um die erst Komp. gleich zu machen: Faktor 3, der macht auch allen! anderen Komp. gleich also b=3*a d.h. a,bkollinear
>
> b) [mm]a=\vektor{-4 \\ 6 \\ 8}[/mm] ; [mm]b=\vektor{2 \\ -3 \\ -4}[/mm]
>
ähnlich wie a) nur anderer Faktor
> c) [mm]a=\vektor{12 \\ -6 \\ 9}[/mm] ; [mm]b=\vektor{-16 \\ -8 \\ 12}[/mm]
Faktor um die ersten Komp gleich zu machen :-16/12=-3/4
2.Komp *-3/4= -6*(-3/4)=+8 also kein mögliches q also lin. unabhängig bzw NICHT kollinear
>
> d) [mm]a=\vektor{ \bruch{4}{5}\\ 6\\-\bruch{3}{4}} ;b=\vektor{-\bruch{8}{15} \\ -4 \\ \bruch{1}{2}}[/mm]
Hier
schon was gemeiner 1. und 2. Komp. werden mit dem gleichen Faktor gleich, aber die 3. nicht!
> Vektoren werden ja wohl mit einem pfeil auf den buchstaben
> dargestellt ,dies aufgaben sind orginal aus meinem
> mathebuch ,genau so steht es in meinem buch.Sind nun die
> buchstaben a und b auch vektoren obwohl kein pfeil
> darüber ist???
Ja! in Mathe gibt es zwar ein paar Vereinbarungen, wie man was schreibt, wenn man a mit ner Zahl verwechseln könnte muss man deshalb nen Pfeil drauf machen aber wenn da steht :
[mm]a=\vektor{12 \\ -6 \\ 9}[/mm] ist klar, dass a ein Vektor ist und dann kann (muss nicht) man den Pfeil weglassen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 So 24.09.2006 | | Autor: | Ayhan |
Hallo leduard, danke für die deine hilfe.
Die 1. aufgabe habe ich verstanden .
(also AB: spitze eines vektors(hier B minus der anfangspunkt des Vektors hier A) => AB= B-A die b koordinaten minus die A koordinaten.
Aber die 2.aufgabe habe ich leider nicht so ganz verstanden.
Könntest du mir die aufgabe: 2b oder 2c mal ausführlich ausrechnen?
Würde mich freuen!
LG
Ayhan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Mo 25.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ayan
Ausnahmsweise 
Also geragt ist gibt es ein q (oder r)mit a*q=b (oder auch a=r*b
$ [mm] a=\vektor{-4 \\ 6 \\ 8} [/mm] $ $ [mm] b=\vektor{2 \\ -3\\ 4} [/mm] $
also
$ [mm] q*\vektor{-4 \\ 6 \\ 8}=\vektor{2 \\ -3 \\ 4} [/mm] $
das führ zu den Gleichungen :
-4=r*2
6=r*(-3)
8=r*4
natürlich müssen die r in allen Gleichungen dieselben sein!
aus einer davon zum Beispiel der ersten rechne ich aus: r=-2
dieses r setz ich in die 2. und die dritte Gleichung ein.
und siehe da, mit r=-2 sind auch Nr 2 und Nr 3 richtig, also weiss ich jetzt a=-2*b und deshalb sind die 2 kolinear.
Bei 2c) stellst du wieder die 3 Gleichungen auf, rechnest r aus einer aus, setzest in die 2 anderen ein, soweit ich mich erinnere stimmt dann eine nicht und deshalb gibts so ein r nicht, also nicht kolinear.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:00 Mo 25.09.2006 | | Autor: | Ayhan |
Hi leduart,danke nochmal ich habe dieses inzwischen zeit auch selber gerechnet nun auch verstanden ,und konnte auch nachweisen das sie alle kollinear sind.
[mm] a=\vektor{-4 \\ 6\\8} [/mm] ; [mm] b=\vektor{2\\ -3\\8}
[/mm]
[mm] \vec{a}=\vektor{-4 \\ 6\\8} [/mm] ; [mm] \vec{b}=\vektor{2\\ -3\\8}
[/mm]
[mm] \vec{a}= k*\vec{b}
[/mm]
-4 = 2k /2 [mm] \Rightarrow [/mm] k=-2
6 =-3k /(-3) [mm] \Rightarrow [/mm] k=-2
8 = -4k /(-4) [mm] \Rightarrow [/mm] k=-2
Danke nochmal!
Ayhan
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