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Halloo
wir machen gerade in mathe koordinatengeometrie aber ohne vektoren. ich hab das mal irgendwo aufgeschnappt!
hat mal jemand lust mir das einfach zu erklären... ?
ich kann den ganzen wissenschaflichen artikeln darüber nicht viel entnehmen!
viele grüße
informacao
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Das ist so eine Frage vom Typ "Kann mir einmal jemand die Schopenhauersche Philosophie (aber bitte in nicht mehr als 4 Zeilen) erklären?".
Werde konkret, dann wird sicher auch gerne jemand antworten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 So 10.09.2006 | | Autor: | Informacao |
aso ja gut, das kann ich ja nicht wissen, weil ich mir darunter noch nichts Konkretes vorstellen kann.
Was sind Vektoren?
Was macht man damit?
Kann man sie in der analytischen Geometrie anwenden? Wie?
VIele grüße
Informacao
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Du willst also die Analytische Geometrie nicht erklärt bekommen, sondern eher wissen, was das ist?
In der Geometrie unterscheidet man zwei prinzipiell verschiedene Methoden:
die Synthetische Geometrie und die Analytische Geometrie
In der Synthetischen Geometrie beschreibt man geometrische Objekte durch ihre Beziehungen untereinander und ohne Bezug auf ein im Hintergrund wirkendes Koordinatensystem. Im Prinzip ist das die Geometrie, wie man sie üblicherweise in der Unter- und Mittelstufe eines Gymnasiums betreibt (obwohl man da auch gelegentlich analytische Methoden verwendet). So kann man etwa auf ein weißes Stück Papier einen Kreis zeichnen und auf ihm einen Punkt markieren. Die Aufgabe, die Tangente in diesem Punkt zu konstruieren, kann gelöst werden, indem man die Gerade durch ihn und den Kreismittelpunkt zeichnet und in dem fraglichen Punkt das Lot auf die Gerade errichtet. Viele Aufgaben der Geometrie lassen sich bequem mit synthetischen Methoden lösen. Wichtige Hilfsmittel sind dabei Symmetriebetrachtungen, Kongruenzsätze, spezielle Sätze über Winkel (z.B. der Satz des Thales oder der Satz vom Umfangswinkel), die Ähnlichkeit (und ihre Ableger wie die Strahlensätze oder die Satzgruppe des Pythagoras) und so weiter. Dabei wird gelegentlich auch gerechnet, aber eben nicht mit Koordinaten. Das ist das Entscheidende.
Von Analytischer Geometrie spricht man, wenn man die geometrischen Objekte durch Koordinaten und rechnerische Beziehungen zwischen den Koordinaten beschreibt. Im engeren Sinn ist die Analytische Geometrie die zwei- oder dreidimensionale Koordinatengeometrie der Punkte, Geraden, Kreise, Ebenen und Kugeln. Alle diese Objekte lassen sich durch lineare oder quadratische Gleichungen zwischen Koordinaten beschreiben. Vielleicht weißt du, daß zwei Geraden mit den Gleichungen [mm]y = m_1 x + c_1[/mm] und [mm]y = m_2 x + c_2[/mm] genau dann senkrecht aufeinander stehen, falls [mm]m_1 \cdot m_2 = -1[/mm] ist. Das ist eine typische Beziehung der Analytischen Geometrie: Man übersetzt geometrische Begriffe (Geraden, Senkrechtstehen) in algebraische (lineare Gleichungen zwischen den Koordinaten [mm]x,y[/mm], rechnerische Beziehung zwischen den Steigungen [mm]m_1,m_2[/mm]). Durch diesen Übersetzungsprozeß kann man viele komplexe geometrische Aufgaben auf algebraischem, letztlich also rechnerischem Weg behandeln. Man muß nicht mehr geometrisch denken, sondern nur noch rechnen.
Die Vektoren sind dabei ein zentrales Hilfsmittel, den Übergang vom Geometrischen zum Algebraischen zu bewältigen. Darüberhinaus sind lineare Gleichungssysteme und lineare Abbildungen von entscheidender Bedeutung. Aber es gibt auch andere analytische Methoden. Bestimmte zweidimensionale Probleme lassen sich leichter mit komplexen Zahlen (Gaußsche Zahlenebene), bestimmte dreidimensionale leichter mit Quaternionen als mit Vektorrechnung lösen. In gewissen Fällen können auch baryzentrische Koordinaten oder Polarkoordinaten von Vorteil sein. Und das ist noch lange nicht alles.
Wer einmal die Analytische Geometrie kennengelernt hat, wird sie nicht mehr missen wollen. Allerdings entsteht beim Anfänger oft der falsche Eindruck, damit ein Wundermittel für alle geometrischen Probleme der Welt gefunden zu haben. Prinzipiell kann zwar jede geometrische Aufgabe analytisch gelöst werden, es erweist sich aber oft, daß die dabei auftretenden rechnerischen Probleme so groß werden, daß sie nicht mehr vernünftig handhabbar sind: Bruchtürme mit geschachtelten Wurzeln und vielen Variablen bringen irgendwann einmal auch den geübtesten Algebraiker zur Verzweiflung. Und gelegentlich kann ein Problem mit einer mehr oder weniger einfachen synthetischen Überlegung zur Strecke gebracht werden, wo die analytische Rechnung aufwendig oder gar völlig impraktikabel ist. Vielleicht schaust du einmal hier.
Letztlich gibt sich der gute Mathematiker darin zu erkennen, daß er für das vorliegende Problem die passende Methode findet, sei sie synthetisch oder analytisch, also die Methode, die das Problem mit dem geringstmöglichen Aufwand löst. Zur Bestimmung von Teilverhältnissen etwa gibt es in der Analytischen Geometrie das Verfahren des geschlossenen Vektorzuges. Es mag ja Probleme geben, wo dieses Verfahren angemessen ist. Aber bei den meisten Aufgaben zu Teilverhältnissen, die ich kenne, ist es zwanghaft aufgesetzt, weil sich diese viel leichter mit dem Strahlensatz oder ähnlichen Dreiecken lösen lassen.
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