Vektorbestimmung < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sind die Basisvektoren [mm] \overrightarrow{i}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \overrightarrow{j}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \overrightarrow{k}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Bestimmen Sie alle zu [mm] \overrightarrow{k} [/mm] senkrechten Vektoren [mm] \overrightarrow{x} [/mm] vom Betrag 13, die mit dem Vektor [mm] \overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+\wurzel[]{3}\overrightarrow{k} [/mm] den Winkel 120° bilden.
Lösung: [mm] \overrightarrow{x}=-13\overrightarrow{i} [/mm] oder [mm] \overrightarrow{x}=5\overrightarrow{i}+12\overrightarrow{j} [/mm] |
Wie löst man diese Aufgabe?
Soweit bin ich bisher gekommen:
[mm] \overrightarrow{x}=\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ 0} [/mm] ,da der Vektor [mm] \overrightarrow{x} [/mm] senkrecht zu [mm] \overrightarrow{k}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] liegt.
Also weiß man auch, dass [mm] 13=\wurzel[]{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} [/mm] ist.
Zudem gilt: [mm] \overrightarrow{x}=r*\overrightarrow{i}+s*\overrightarrow{j}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{a}=\vektor{2 \\ -3 \\ \wurzel[]{3}}, |\overrightarrow{a}|=4
[/mm]
Und:
[mm] \overrightarrow{a}\*\overrightarrow{x}/(|\overrightarrow{a}|*|\overrightarrow{x}|)=cos(120)
[/mm]
[mm] \gdw \overrightarrow{a}\*\overrightarrow{x}=cos(120°)*|\overrightarrow{a}|*|\overrightarrow{x}|
[/mm]
Einsetzen: [mm] 2x_{1}-3x_{2}=cos(120)*4*13
[/mm]
Wie kommt man nun zur Lösung?
Viele Grüße,
cosypanther
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 So 07.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo cosypanther,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du hast doch nunmehr folgendes Gleichungssystem aus zwei Unbekannten mit zwei Gleichungen erhalten:
[mm] $$\wurzel{x_1^2+x_2^2} [/mm] \ = \ 13$$
[mm] $$2*x_1-3*x_2 [/mm] \ = \ [mm] \cos(120^{\circ})*4*13 [/mm] \ = \ -26$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Als Lösung des Gleichungssystems erhalte ich [mm] x_{1}=\pm13 [/mm] und [mm] x_{2}=0.
[/mm]
Eingesetzt in [mm] \overrightarrow{x}=r*\overrightarrow{i}+s*\overrightarrow{j} [/mm] folgt für [mm] \overrightarrow{x}:
[/mm]
[mm] \Rightarrow \overrightarrow{x}=-13*\overrightarrow{i}
[/mm]
Super!
Eine Frage habe ich noch. Könnte die Lösung nicht auch [mm] \overrightarrow{x}=+13*\overrightarrow{i} [/mm] sein?
Ich glaube, ich kann mir die Frage schon selbst beantworten:
Denn [mm] +\overrightarrow{x} [/mm] läuft genau in die entgegengesetzte Richtung von [mm] -\overrightarrow{x} [/mm] (Gegenvektor).
Also müsste [mm] +\overrightarrow{x} [/mm] die anderen Vektoren genauso schneiden wie [mm] -\overrightarrow{x}. [/mm]
Danke für deine Hilfe!
cosypanther
|
|
|
|
