Vektoralgebra < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Do 04.03.2004 | | Autor: | Chris03 |
Hallo!
Ich würde gerne wissen, ob ich diese Aufgabe soweit richtig gerechnet habe.
In [mm] R^3 [/mm] sind in kartesischen Koordinaten x=[mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm] gegeben.
die Ebene [mm]\epsilon [/mm] : 4x + 3z -25 =0
die Gerade g: x= t*[mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] , t [mm]\in \IR [/mm]
a) In welchem Punkt P und unter welchem Winkel [mm]\gamma [/mm] schneidet g die Ebene [mm]\epsilon [/mm]?
b) Man bestimme den Fußpunkt F des Lotes vom Ursprung O auf die Ebene [mm]\epsilon [/mm]. Man spiegle O und g an [mm]\epsilon [/mm] und gebe die Koordinaten des Spiegelpunktes O` von O und eine Parameterdarstellung der gespiegelten Gerade g` an.
Lsg. zu a)
Gerade in Ebene einsetzen:
4*(4t) + 3*(3t) = 25
16t + 9t = 25
t = 1
in Gerade einsetzen SP(4,5,3)
Schnittwinkel:
[mm] a_1 [/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] a_2 [/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]
[mm]\phi [/mm]= arccos [mm] (a_1 [/mm] * [mm] a_2) [/mm] / [mm]\begin{vmatrix} a_1 \end{vmatrix} [/mm] * [mm]\begin{vmatrix} a_2 \end{vmatrix} [/mm]
[mm]\phi [/mm]= 45°
zu b)
wie fange ich da überhaupt an?
Gruss
Christian
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Do 04.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Chris03,
> a) In welchem Punkt P und unter welchem
> Winkel [mm]\gamma[/mm] schneidet g die Ebene [mm]\epsilon [/mm]?
>
> b) Man bestimme den Fußpunkt F des Lotes vom Ursprung O auf
> die Ebene [mm]\epsilon [/mm]. Man spiegle O und g an [mm]\epsilon[/mm] und
> gebe die Koordinaten des Spiegelpunktes O` von O und eine
> Parameterdarstellung der gespiegelten Gerade g` an.
>
> Lsg. zu a)
> Gerade in Ebene einsetzen:
> 4*(4t) + 3*(3t) = 25
> 16t + 9t = 25
> t = 1
> in Gerade einsetzen SP(4,5,3)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , perfekt.
> Schnittwinkel:
>
> [mm] a_1 [/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> [mm] a_2 [/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\phi [/mm]= arccos [mm] (a_1 [/mm] * [mm] a_2) [/mm] / [mm]\begin{vmatrix} a_1 \end{vmatrix}[/mm]
> * [mm]\begin{vmatrix} a_2 \end{vmatrix}[/mm]
>
> [mm]\phi [/mm]= 45°
Das stimmt zwar, aber hast du auch beachtet, dass dies der Winkel zwischen dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Gerade ist?
Hier spielt das aber keine Rolle, denn du müßtest diesen Winkel von 90° subtrahieren, was wieder 45° ist, also Glück gehabt 
Übrigens kannst du für den Schnittwinkel einer Ebene in Koordinaten/Normalenform und einer Geraden auch diese Formel benutzen, da ist die Korrektur um die 90° bereits enthalten:
[mm]\phi = \arcsin \bruch{a_1 * a_2}{|a_1|*|a_2|}[/mm]
> zu b)
> wie fange ich da überhaupt an?
Zur Spiegelung eines Punktes $P$ an einer Ebene:
Hier konstruierst du eine Hilfsgerade ("Lotgerade"), die senkrecht zur Ebene steht und durch den Punkt $P$ verläuft. Der gespiegelte Punkt $P'$ liegt dann ebenfalls auf dieser Hilfsgeraden, und hat denselben Abstand zu der Ebene wie $P$.
Der Fußpunkt diese Lotes ist zudem der Schnittpunkt der Lotgerade mit der Ebene.
Für die Spiegelung berechnest du also zunächst die Lotgerade, dann deren Schnittpunkt $F$ mit der Ebene und dann den Spiegelpunkt $P'$.
Für die Spiegelung einer Gerade kannst du ganz ähnlich vorgehen, denn es reicht, zwei Punkte der Gerade zu spiegeln; die Spiegelgerade verläuft dann durch die gespiegelten Punkte.
In diesem Fall könntest du z.B. als ersten Punkt gerade den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene nehmen -- dieser wird schließlich auf sich selbst abgebildet und ist so sofort ermittelt.
Als zweiten Punkt könntest du einen Punkt nehmen, der ebenfalls auf der Gerade liegt (und dessen Spiegelbild du oben schon berechnet hast... )
Bei weiteren Problemen und Fragen weißt du ja, wo du uns findest 
Viel Erfolg,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Do 04.03.2004 | | Autor: | Chris03 |
> > Schnittwinkel:
> >
> > [mm] a_1 [/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> > [mm] a_2 [/mm]
> =
> > [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> >
> > [mm]\phi [/mm]= arccos [mm] (a_1 [/mm] * [mm] a_2) [/mm] / [mm]\begin{vmatrix} a_1 \end{vmatrix}[/mm]
>
> > * [mm]\begin{vmatrix} a_2 \end{vmatrix}[/mm]
> >
> > [mm]\phi [/mm]= 45°
>
> Das stimmt zwar, aber hast du auch beachtet, dass dies der
> Winkel zwischen dem Normalenvektor der Ebene und dem
> Richtungsvektor der Gerade ist?
> Hier spielt das aber keine Rolle, denn du müßtest diesen
> Winkel von 90° subtrahieren, was wieder 45° ist, also Glück
> gehabt
Welchen Punkt hätte ich den sonst nehmen sollen?
> Übrigens kannst du für den Schnittwinkel einer Ebene in
> Koordinaten/Normalenform und einer Geraden auch diese
> Formel benutzen, da ist die Korrektur um die 90° bereits
> enthalten:
> [mm]\phi = \arcsin \bruch{a_1 * a_2}{|a_1|*|a_2|}[/mm]
>
> > zu b)
> > wie fange ich da überhaupt an?
>
> Zur Spiegelung eines Punktes $P$ an einer Ebene:
> Hier konstruierst du eine Hilfsgerade ("Lotgerade"), die
> senkrecht zur Ebene steht und durch den Punkt $P$ verläuft.
Der Normalenvektor steht doch senkrecht auf der Ebene. Also wäre die Hilfsgerade doch [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda *\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm].
> Der gespiegelte Punkt $P'$ liegt dann ebenfalls auf dieser
> Hilfsgeraden, und hat denselben Abstand zu der Ebene wie
> $P$.
> Der Fußpunkt diese Lotes ist zudem der Schnittpunkt der
> Lotgerade mit der Ebene.
> Für die Spiegelung berechnest du also zunächst die
> Lotgerade, dann deren Schnittpunkt $F$ mit der Ebene
Schnittpunkt mit Ebene wäre dann
(8/0/6)
> und
> dann den Spiegelpunkt $P'$.
wäre der Spiegelpunkt dann das doppelte vom Schnittpunkt?
Ich vermute, dass das nun alles falsch ist, aber ein Versuch ist es wert.
Gruss
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Do 04.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Chris,
> > Hier spielt das aber keine Rolle, denn du müßtest
> diesen
> > Winkel von 90° subtrahieren, was wieder 45° ist, also
> Glück
> > gehabt
>
> Welchen Punkt hätte ich den sonst nehmen sollen?
Ich weiß gerade nicht, was du meinst.
Benutze einfach die Formel (die von Marc)
[mm]\alpha = \arcsin \left( \frac{n\* a}{|a|\cdot |n|} \right)[/mm] ,
wobei [mm]n[/mm] der Normalenvektor der Ebene und [mm]a[/mm] der Richtungsvektor der Gerade ist.
Okay?
> Der Normalenvektor steht doch senkrecht auf der Ebene. Also
> wäre die Hilfsgerade doch [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda *\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm].
Nein, wie kommst du darauf?
Du musst als Richtungsvektor der Hilfsgeraden einfach den Normalenvektor der Ebene nehmen. (Gut, das hast du gemacht, beziehungsweise den negativen Normalenvektor.) Und der Stützvektor ist einfach der Ortsvektor des zu spiegelnden Punktes, hier also einfach [mm]\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)[/mm].
Versuche es noch einmal.
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Do 04.03.2004 | | Autor: | Chris03 |
> Du musst als Richtungsvektor der Hilfsgeraden einfach den
> Normalenvektor der Ebene nehmen. (Gut, das hast du gemacht,
> beziehungsweise den negativen Normalenvektor.) Und der
> Stützvektor ist einfach der Ortsvektor des zu spiegelnden
> Punktes, hier also einfach [mm]\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)[/mm].
also ist die Lotgerade
[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\lambda [/mm] [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]
nun bekomme ich durch einsetzen in die Ebene den Punkt [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 0\\ 3 \end{pmatrix} [/mm] als Schnittpunkt raus.
Der Spiegelpunkt müsste dann ja das doppelt des SP sein.
Da die Gerade die Ebene schneidet kann ich den SP aus Aufgabenteil a) als ersten Punkt der gespiegelten Gerade nehmen.
Wie komme ich dann auf einen zweiten? Muss ich z.B. irgendeinen Wert in die Geradengleichung einsetzen? Und dann? (oh, oh, ich komme nicht mal mehr auf die einfachsten Sachen)
Gruss
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Do 04.03.2004 | | Autor: | Chris03 |
> Wie, den zweiten? Du hast doch schon zwei. Einmal den
> Schnittpunkt aus (a), der auf sich selbst abgebildet wird,
> und dann den Spiegelpunkt von eben, also [mm]\left( \begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)[/mm].
>
>
> Nun musst du aus den zwei Punkten eine Geradengleichung
> durch diese zwei Punkte bilden.
>
> Als Stützvektor nimmst du den Ortsvektor des einen Punktes
> und als Richtungsvektor die Differenz der beiden
> Ortsvektoren.
>
> Wie lautet also jetzt die gespiegelte Gerade?
>
Ich hoffe das die Gleichung dann [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] + s * [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]
heißt.
Ich war mir vorhin nur nicht klar darüber, das der Spiegelpunkt der Ebene auch auf die Gerade angewand werden kann.
Besten Dank!
Gruss
Christian
> Viele Grüße
> Stefan
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Fr 05.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Chris03,
> Ich hoffe das die Gleichung dann [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> + s * [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> heißt.
, das ist richtig.
> Ich war mir vorhin nur nicht klar darüber, das der
> Spiegelpunkt der Ebene auch auf die Gerade angewand werden
> kann.
Das sollte wohl eine didaktische Aufgabe sein, bei der man schrittweise an die Berechnungsweise von Spiegelgeraden herangeführt werden sollte. Versuche dir also zu merken, wie man das Spiegelbild einer Geraden berechnet, das sollte wohl das Lernziel dieser Aufgabe sein.
Alles Gute,
Marc.
|
|
|
|
