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| Aufgabe | a)
Gegeben seien Vektoren [mm] \overrightarrow{a} [/mm] = [mm] (a_{1}, a_{2}) [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] = [mm] (b_{1}, b_{2}) [/mm] in einem zweidimendionalen kartesischen Koordinatensystem. Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit sich jeder beliebige Vektor [mm] \overrightarrow{v} [/mm] = [mm] (v_{1}, v_{2}) [/mm] in der Form [mm] \overrightarrow{v} [/mm] = [mm] \lambda \overrightarrow{a} [/mm] + [mm] \mu \overrightarrow{b} [/mm] darstellen lässt? Bestimmen Sie einen Ausdruck für [mm] \lambda [/mm] und für [mm] \mu. [/mm] Berechnen Sie [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] speziell für den Fall [mm] \overrightarrow{v} [/mm] = (2,-1) , [mm] \overrightarrow{a} [/mm] = (2,1) und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] = (1,-1) und machen Sie dazu auch eine Zeichnung.
b)
Gegeben seien die Vektoren [mm] \overrightarrow{a} [/mm] = (1,1,0) und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] = (3,-4,0). Bestimmen Sie alle Vektoren [mm] \overrightarrow{x} [/mm] , die zu beiden Vektoren [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] orthogonal sind.(mit Skalarprodukt lösen) |
Hallo !
Also erstmal a) :
Eine Bedingung die erfüllt sein muss ist das [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] keine Nullvektoren sind, ist ja klar. Eine andere Bedingung muss sein das die Vektoren kolinear sein sollen oder? Also auf einer Geraden liegen müssen. D.h. wenn ich z.b. einen Vektor hab, könnte ich ihn in zwei andere Vektoren aufspalten die in einer Linie liegen und dann jeweils die beiden Parameter lambda und mu bestimmen? Wie ich aber einen Ausdruck dafür hin bekommen, dazu fällt mir nix ein hm. Oder könnte man das irgendwie mit einem LGS machen?
Zu b) kann ich ja später dann was schreiben :)
Gruß !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 Mi 18.04.2012 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
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> Also erstmal a) :
> Eine Bedingung die erfüllt sein muss ist das
> [mm]\overrightarrow{a}[/mm] und [mm]\overrightarrow{b}[/mm] keine
> Nullvektoren sind, ist ja klar.
Das stimmt.
> Eine andere Bedingung muss
> sein das die Vektoren kolinear sein sollen oder? Also auf
> einer Geraden liegen müssen. D.h. wenn ich z.b. einen
> Vektor hab, könnte ich ihn in zwei andere Vektoren
> aufspalten die in einer Linie liegen und dann jeweils die
> beiden Parameter lambda und mu bestimmen?
Das verstehe ich nicht. Zeichne dir die Situation mal in 2D auf.
Dann wirst du sehen, ob deine Aussage stimmt oder nicht.
Nehme z.B. mal die Vektoren [mm] $\vec{a}=(1,0)^T$ [/mm] und [mm] $\vec{a}=(2,0)^T$, [/mm] die ja dann 'kolinear' sind. Dann versuche mal mit denen, den Vektor [mm] $\vec{b}=(0,2)^T$ [/mm] zu generieren. Das wird nicht gehen.
Wenn man sich das ganze graphisch in der Ebene veranschaulicht, wird man die Bedingung fuer die beiden Vektoren dann sehen.
Ansonsten aber besteht ja immer die Moeglichkeit, sich einen 'beliebigen', allgemeinen Vektor [mm] $\vec{v}$ [/mm] vorzugeben und ebenfalls zwei 'allgemeine' Vektoren [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$. [/mm] Dann setzt man die Gleichung an, die man loesen will und kann das dann als LGS schreiben, welches unter bestimmten Bedingungen [wo dann auch die Einschraenkungen fuer die Vektoren abfallen muessen] bestimmt werden kann. Das liefert dann auch die Werte fuer [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$.
[/mm]
LG
Kroni
>Wie ich aber
> einen Ausdruck dafür hin bekommen, dazu fällt mir nix ein
> hm. Oder könnte man das irgendwie mit einem LGS machen?
>
> Zu b) kann ich ja später dann was schreiben :)
>
> Gruß !
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Ah ok also wie man lambda und mu berechnet mit den gegeben Vektoren v = (2, -1) usw. weiß ich jetzt. Lambda = 1/3 und mu = 4/3 . Wie kann ich aber nun einen Ausdruck dafür finden? Reicht es wenn ich einfach ein LGS angebe und dann jeweils die Gleichungen für lamda und mu?(ohne Zahlen natürlich) Also so:
Die Ausdrücke sind:
[mm] \bruch{v_{1}-b_{1}\mu}{a_{2}} [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
und:
[mm] \bruch{v_{2}-a_{2}\lambda}{b_{2}} [/mm] = [mm] \mu
[/mm]
Dann mal was zu b)
Das lässt sich auch mit einem LGS lösen oder:
Alle die zu Vektor a orthogonal sind:
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] = 0
Dann hätte ich das LGS:
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = 0
Alle die zu Vektor b orthogonal sind:
[mm] \vektor{3 \\ -4 \\ 0} [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] = 0
Mit dem LGS:
[mm] 3x_1 [/mm] - [mm] 4*x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0
Und jetzt halt nach den jeweiligen Auflösen, ist das so richtig?
Danke für die Antwort und Gruß !
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Hallo PhysikGnom,
> Ah ok also wie man lambda und mu berechnet mit den gegeben
> Vektoren v = (2, -1) usw. weiß ich jetzt. Lambda = 1/3 und
> mu = 4/3 . Wie kann ich aber nun einen Ausdruck dafür
> finden? Reicht es wenn ich einfach ein LGS angebe und dann
> jeweils die Gleichungen für lamda und mu?(ohne Zahlen
> natürlich) Also so:
> Die Ausdrücke sind:
>
> [mm]\bruch{v_{1}-b_{1}\mu}{a_{2}}[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
> und:
> [mm]\bruch{v_{2}-a_{2}\lambda}{b_{2}}[/mm] = [mm]\mu[/mm]
>
Der Ausdruck für [mm]\lambda[/mm] darf nicht von [mm]\mu[/mm] abhängen umd umgekehrt.
> Dann mal was zu b)
>
> Das lässt sich auch mit einem LGS lösen oder:
>
> Alle die zu Vektor a orthogonal sind:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] * [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm] = 0
>
> Dann hätte ich das LGS:
>
> [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] = 0
>
> Alle die zu Vektor b orthogonal sind:
>
> [mm]\vektor{3 \\ -4 \\ 0}[/mm] * [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm] = 0
>
> Mit dem LGS:
>
> [mm][mm] 3x_1 [/mm] - [mm]4*x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 0
>
Das muss doch so lauten:
[mm]3x_1 - 4*x_2 + \red{0}*x_3 = 0[/mm]
> Und jetzt halt nach den jeweiligen Auflösen, ist das so
> richtig?
>
Jetzt hast Du das LGS
[mm]x_1 + x_2 = 0[/mm]
[mm]3x_1 -4*x_2+0*x_{3} = 0[/mm]
Aus diesen beiden Gleichungen bestimmst Du nun [mm]x_{1}, \ x_{2}, \ x_{3}[/mm].
> Danke für die Antwort und Gruß !
>
Gruss
MathePower
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Wegen a):
Die Gleichungen dürfen nicht wieder vom anderen abhängen hm, ok dann wird es wohl gehen wenn ich einfach die eine in die andere einsetze oder?
Also so:
[mm] \bruch{v_1-b_1(\bruch{v_2-a_2\lambda}{b_2})}{a_2} [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
Nach ausmultiplizieren und umstellen hab ich dann:
[mm] \bruch{v_1v_2-b_1v_2}{a^{2}_{2}+v_1a_2-b_1a_2} [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
Für [mm] \mu [/mm] würd ich das dann eben analog machen.
Stimmt das? :)
Gruß
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Hallo PhysikGnom,
> Wegen a):
>
> Die Gleichungen dürfen nicht wieder vom anderen abhängen
> hm, ok dann wird es wohl gehen wenn ich einfach die eine in
> die andere einsetze oder?
>
> Also so:
>
> [mm]\bruch{v_1-b_1(\bruch{v_2-a_2\lambda}{b_2})}{a_2}[/mm] =
> [mm]\lambda[/mm]
>
> Nach ausmultiplizieren und umstellen hab ich dann:
>
> [mm]\bruch{v_1v_2-b_1v_2}{a^{2}_{2}+v_1a_2-b_1a_2}[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
>
> Für [mm]\mu[/mm] würd ich das dann eben analog machen.
>
> Stimmt das? :)
>
Die Idee ist richtig, die Ausführung leider nicht.
> Gruß
Gruss
MathePower
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Hm ok ich hätte den Bruch nur mit dem [mm] b_1 [/mm] multiplizieren sollen, stimmt^^ oh man. Ok dann hab ich das raus:
[mm] \bruch{v_1b_1}{1+b_1-a_2b_1} [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
Gruß
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Hallo PhysikGnom,
> Hm ok ich hätte den Bruch nur mit dem [mm]b_1[/mm] multiplizieren
> sollen, stimmt^^ oh man. Ok dann hab ich das raus:
>
> [mm]\bruch{v_1b_1}{1+b_1-a_2b_1}[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
>
Das stimmt leider auch nicht.
Poste doch die Rechenschritte von
[mm] \bruch{v_1-b_1(\bruch{v_2-a_2\lambda}{b_2})}{a_2} $ = $ \lambda [/mm]
bis zur Auflösung [mm]\lambda = \ ....[/mm]
Ich stelle gerade fest, daß die Gleichung so lauten muss:
[mm] \bruch{v_1-b_1(\bruch{v_2-a_2\lambda}{b_2})}{a_{\red{1}}} = \lambda [/mm]
> Gruß
Gruss
MathePower
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ok nächster Versuch :
1. [mm] \bruch{v_1-b_1(\bruch{v_2-a_2\lambda}{b_2})}{a_1} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] mal [mm] a_1
[/mm]
[mm] (b_1 [/mm] in den Bruch reinmultipliziert)
2. [mm] v_1-(\bruch{v_2b_1-a_2b_1\lambda}{b_2}) [/mm] = [mm] \lambda a_1 [/mm] mal [mm] b_2
[/mm]
3. [mm] v_1b_2-b_1v_2-a_2b_1\lambda [/mm] = [mm] \lambda a_1b_2 [/mm] plus [mm] a_2b_1\lambda
[/mm]
4. [mm] v_1b_2-b_1v_2 [/mm] = [mm] \lambda a_1b_2 [/mm] + [mm] a_2b_1\lambda
[/mm]
(lambda rechts ausklammern)
5. [mm] v_1b_2-b_1v_2 [/mm] = [mm] \lambda (a_1b_2+a_2b_1) [/mm] geteilt durch [mm] (a_1b_2+a_2b_1)
[/mm]
6. [mm] \bruch{v_1b_2-b_1v_2}{a_1b_2+a_2b_1} [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
So ich denk das müsste stimmen, könnte mir nicht vorstellen irgend einen Fehler gemacht zu haben, ansonsten: Schande über mich.
Gruß
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Hallo PhyikGnom,
> ok nächster Versuch :
>
> 1. [mm]\bruch{v_1-b_1(\bruch{v_2-a_2\lambda}{b_2})}{a_1}[/mm] =
> [mm]\lambda[/mm] mal [mm]a_1[/mm]
>
> [mm](b_1[/mm] in den Bruch reinmultipliziert)
>
> 2. [mm]v_1-(\bruch{v_2b_1-a_2b_1\lambda}{b_2})[/mm] = [mm]\lambda a_1[/mm]
> mal [mm]b_2[/mm]
>
> 3. [mm]v_1b_2-b_1v_2-a_2b_1\lambda[/mm] = [mm]\lambda a_1b_2[/mm] plus
> [mm]a_2b_1\lambda[/mm]
Hier ist ein Vorzeichenfehler passiert:
[mm]v_1b_2-b_1v_2\blue{+}a_2b_1\lambda = \lambda a_1b_2[/mm]
>
> 4. [mm]v_1b_2-b_1v_2[/mm] = [mm]\lambda a_1b_2[/mm] + [mm]a_2b_1\lambda[/mm]
>
> (lambda rechts ausklammern)
>
> 5. [mm]v_1b_2-b_1v_2[/mm] = [mm]\lambda (a_1b_2+a_2b_1)[/mm] geteilt durch
> [mm](a_1b_2+a_2b_1)[/mm]
>
> 6. [mm]\bruch{v_1b_2-b_1v_2}{a_1b_2+a_2b_1}[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
>
Hier muss es dann lauten:
[mm]\bruch{v_1b_2-b_1v_2}{a_1b_2\blue{-}a_2b_1} = \lambda[/mm]
> So ich denk das müsste stimmen, könnte mir nicht
> vorstellen irgend einen Fehler gemacht zu haben, ansonsten:
> Schande über mich.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Do 19.04.2012 | | Autor: | PhysikGnom |
Ah ok, ja stimmt das war ja [mm] -b_1 [/mm] , is ja geschenkt :D (spaß).
Ok damit ist die Aufgabe gelöst. Dank an Kroni(der als erstes geschrieben hat) und natürlich großen Dank an dich MathePower das du mir geduldig geholfen hast, hat mich gefreut :)
Dann wünsch ich noch einen schönen Abend.
Lg
:)
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