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| Aufgabe | Gegeben sind eine Gerade und ein Punkte.
[mm] g:x=(2,1,-1)+\lambda(-1,3,5) [/mm] P(0/0/1) |
Welche Gerade ist orthogonal zur Geraden g und geht durch den Punkt P???Danke für eure Hilfe!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Do 16.08.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich nenne die gesuchte Gerade mal h:
da sie durch P gehen soll, kannst du [mm] \vec{p} [/mm] als Stützvektor nehmen.
Also:
[mm] h:\vec{x}=\vektor{0\\0\\1}+\mu\vec{n}.
[/mm]
An [mm] \vec{n} [/mm] musst du jetzt noch folgende Bedingungen stellen:
[mm] \vec{n}\perp\vektor{-1\\3\\5}
[/mm]
[mm] \gdw -n_{1}+3n_{2}+5n_{3}=0
[/mm]
Ausserdem müssen sich die Geraden noch schneiden. (nehmen wir mal an, dass [mm] \mu=1, [/mm] also dass [mm] \vec{p}+\vec{n} [/mm] genau zu einem Punkt auf der Geraden g führen)
Also:
[mm] \vektor{2\\1\\1}+\lambda\vektor{-1\\3\\5}=\vektor{0\\0\\1}+\vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}
[/mm]
[mm] \gdw \lambda\vektor{-1\\3\\5}=\vektor{n_{1}-2\\n_{2}-1\\n_{3}}
[/mm]
Somit bekommst du drei Gleichungen:
1) [mm] -\lambda=n_{1}-2
[/mm]
2) [mm] 3\lambda=n_{2}-1
[/mm]
3) [mm] 5\lambda=n_{3}
[/mm]
Zusammen mit der Gleichung
[mm] -n_{1}+3n_{2}+5n_{3}=0
[/mm]
erhältst du jetzt folgendes LGS
[mm] \vmat{-\lambda=n_{1}-2\\3\lambda=n_{2}-1\\5\lambda=n_{3}\\-n_{1}+3n_{2}+5n_{3}=0}
[/mm]
Das musst du jetzt lösen, so dass du (Parameterabhängige) Werte für [mm] n_{1},n_{2} [/mm] und [mm] n_{3} [/mm] bekommst, die du dann nach freier Wahl des Parameters konkret bestimmst.
Hilft das erstmal weiter?
Marius
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Nun muss ich doch eigentlich nur noch die ersten drei Gleichungen zu n1, n2, n3 umstellen und um n1 zubekommen n2 und n3 in die letzte glecihung einsetzen. Natürlich das gleiche dann auch für n2 und n3 durchführen.
So erhalte ich:
[mm] n1=-1+34\lambda
[/mm]
[mm] n2=-4/3-26/3\lambda
[/mm]
[mm] n3=7/5-2\lambda
[/mm]
Wenn man aber für [mm] \lambda=1 [/mm] das Skalarprodukt bilde kommt nicht null raus! Was mache ich falsch?!?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Do 16.08.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo berndbatov,
> Nun muss ich doch eigentlich nur noch die ersten drei
> Gleichungen zu n1, n2, n3 umstellen und um n1 zubekommen n2
> und n3 in die letzte glecihung einsetzen. Natürlich das
> gleiche dann auch für n2 und n3 durchführen.
>
> So erhalte ich:
>
> [mm]n1=-1+34\lambda[/mm]
> [mm]n2=-4/3-26/3\lambda[/mm]
> [mm]n3=7/5-2\lambda[/mm]
>
> Wenn man aber für [mm]\lambda=1[/mm] das Skalarprodukt bilde kommt
> nicht null raus! Was mache ich falsch?!?!
Wei bist du an die Terme für die [mm] n_i [/mm] gekommen?
Hier nochmal das Gleichungssystem von Marius:
$ [mm] \vmat{-\lambda=n_{1}-2\\3\lambda=n_{2}-1\\5\lambda=n_{3}\\-n_{1}+3n_{2}+5n_{3}=0} [/mm] $
[mm] \gdw [/mm]
$ [mm] \vmat{2-\lambda=n_{1}\\1+3\lambda=n_{2}\\5\lambda=n_{3}\\-n_{1}+3n_{2}+5n_{3}=0} [/mm] $
Wenn du jetzt die Werte für [mm] n_i [/mm] in die letzte Gleichung einsetzt, kannst du das [mm] \lambda [/mm] für den Schnittpunkt berechenen und mit dessen Hilfe den geeigneten Normalenvektor.
Gruß
Sigrid
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 Do 16.08.2007 | | Autor: | riwe |
eine möglichkeit, den lotfußpunkt zu bestimmen, ist auch diese
[mm] [\vektor{2\\1\\1} +\lambda\cdot\vektor{-1\\3\\5}-\vektor{0\\0\\1}]\cdot\vektor{-1\\3\\5}=0
[/mm]
da ja der lotfußpunkt auf g liegt und [mm] \overrightarrow{PL} [/mm] senkrecht auf den richtungsvektor von g steht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Do 16.08.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du kannst auch wahlweise eine Ebene E in Normalenform aufstellen, mit dem Richtungsvektor von g als Normalenvektor und dem gegebenen Punkt P als Aufpunkt. Die Ebene ist dann orthogonal zu g und geht durch P.
Dann rechnest du den Schnittpunkt g und E aus und erhälst einen Punkte Q. Die Gerade, die dann durch P und Q geht, ist deine gesuchte Gerade.
Nur so als Alternative ;)
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