Variationsrechnung extremum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Di 02.04.2013 | | Autor: | Klerk91 |
| Aufgabe | | Wenn ich eine Lagrangefunktion L(t,x(t),y(t),x'(t),y'(t)) gegeben habe, die also von zwei funktionen x und y und einem paramter t abhaengt und das Variationsproblem ∫Ldt loesen moechte. Dann erhalte ich ja mal zuerst meine beiden euler lagrange gleichungen wo ich jeweils einmal nach x und x' und beim anderen mal nach y und y' diffen muss. das gibt mir dann 2 gekoppelte differentialgleichungen. meine frage ist nun, angenommen ich habe eine loesung gefunden, wie zeige ich dann, dass es ein minimum/maximum ist? |
Meistens geht das ja letztlich ueber zweite ableitungen oder konvexitaet. gibt es solche methoden hier auch? ueber jeden hinweis der eine hinreichende bedingung enthaelt waere ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Sa 06.04.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wenn ich eine Lagrangefunktion L(t,x(t),y(t),x'(t),y'(t))
> gegeben habe, die also von zwei funktionen x und y und
> einem paramter t abhaengt und das Variationsproblem ∫Ldt
> loesen moechte. Dann erhalte ich ja mal zuerst meine beiden
> euler lagrange gleichungen wo ich jeweils einmal nach x und
> x' und beim anderen mal nach y und y' diffen muss. das gibt
> mir dann 2 gekoppelte differentialgleichungen. meine frage
> ist nun, angenommen ich habe eine loesung gefunden, wie
> zeige ich dann, dass es ein minimum/maximum ist?
> Meistens geht das ja letztlich ueber zweite ableitungen
> oder konvexitaet. gibt es solche methoden hier auch? ueber
> jeden hinweis der eine hinreichende bedingung enthaelt
> waere ich sehr dankbar.
Die Euler-Lagrange-Gleichungen ergeben sich durch Nullsetzen der ersten Variation. Eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Minimums (Maximums) ist, dass die zweite Variation [mm] $\ge0$ ($\le0$) [/mm] ist (sofern sie überhaupt existiert).
Näheres findest du in jedem Buch über Variationsrechnung; online z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier.
Viele Grüße
Rainer
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