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Variation der Konstanten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:05 Sa 02.07.2011
Autor: mathefreak89

Aufgabe
xy'+y=X*sin(x)


Hallo:)

Hab für die homogene Lösung folgende Gleichung benutzt. xy'+y=0

Nach Trennung der Variablen komme ich auf:

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y}dy}=\integral_{}^{}{-\bruch{1}{x}dx} [/mm]

ln(y)=-ln(x)

[mm] y=-e^x*C [/mm]

Partikuläre Lösung

C abhängig von x

[mm] y=-e^x*C(x) [/mm]

[mm] y'=-e^x*C(x)-e^x*C(x) [/mm]

y' eingesetzt aus der ausgangsgleichung mit [mm] y'=\bruch{xsin(x)-y}{x} [/mm]

wenn ich dann mein y einsetze:

[mm] \bruch{xsin(x)+e^x*(x)}{x}=-e^x*C(x)-e^x*C(x) [/mm]

hebt sich leider nichts weg aber ich kann den Fehler nicht finden.

Und noch so ne Frage: Werden die beiden Lösungen immer am Ende addiert um das komplette Ergebniss zu bekomen?

Weil mein Prof hat in der Vorlesung irgendwas miteinander multipliziert??

Gruß mathefreak


        
Bezug
Variation der Konstanten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:10 Sa 02.07.2011
Autor: schachuzipus

Hallo mathefreak,


> xy'+y=X*sin(x)
>  Hallo:)
>  
> Hab für die homogene Lösung folgende Gleichung benutzt.
> xy'+y=0
>  
> Nach Trennung der Variablen komme ich auf:
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{y}dy}=\integral_{}^{}{-\bruch{1}{x}dx}[/mm]
>  
> ln(y)=-ln(x) [mm] $\red{+c}$ [/mm]

Außerdem Beträge, also [mm] $\ln(|y|)=-\ln(|x|)+c$ [/mm]

>  
> [mm]y=-e^x*C[/mm]

Hmm, rechterhand: [mm] $e^{-\ln(|x|)+c}=c_1\cdot{}e^{-\ln(|x|)}=c_1\cdot{}\frac{1}{|x|}=\frac{C}{x}$ [/mm]

>  
> Partikuläre Lösung

Hier kann es dann auch nicht klappen ...

Rechne mit der richtigen homogenen Lsg. nochmal nach ...

>
> C abhängig von x
>  
> [mm]y=-e^x*C(x)[/mm]
>  
> [mm]y'=-e^x*C(x)-e^x*C(x)[/mm]
>  
> y' eingesetzt aus der ausgangsgleichung mit
> [mm]y'=\bruch{xsin(x)-y}{x}[/mm]
>  
> wenn ich dann mein y einsetze:
>  
> [mm]\bruch{xsin(x)+e^x*(x)}{x}=-e^x*C(x)-e^x*C(x)[/mm]
>  
> hebt sich leider nichts weg aber ich kann den Fehler nicht
> finden.
>  
> Und noch so ne Frage: Werden die beiden Lösungen immer am
> Ende addiert um das komplette Ergebniss zu bekomen?

Die Gesamtlösung setzt sich aus der homogenen Lösung und einer partikulären Lösung der inhom. Dgl. zusammen, also

[mm] $y=y_{hom}+y_{part}$ [/mm]

>  
> Weil mein Prof hat in der Vorlesung irgendwas miteinander
> multipliziert??
>  
> Gruß mathefreak

Gruß

schachuzipus

>  


Bezug
                
Bezug
Variation der Konstanten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 Sa 02.07.2011
Autor: mathefreak89

Jo stimmt komme dann auch auf die homogene Lösung

[mm] y=\bruch{C}{x} [/mm]

Also für die partikuläre:

[mm] y=\bruch{C(x)}{x} [/mm]

[mm] y'=\bruch{C'(x)*x-C(x)}{x^2} [/mm]

[mm] \bruch{xsin(x)-y}{x}=\bruch{C'(x)*x-C(x)}{x^2} [/mm]

[mm] xsin(x)-y=C'(x)-\bruch{C(x)}{x} [/mm]

y eingesetzt:

xsin(x)=C'(x)

integral gelöst und eingesetzt komme ich dann auf:

[mm] y_{part}=\bruch{sin(x)}{x}-cos(x) [/mm]

Also gesamt:

[mm] y=\bruch{C}{x}+\bruch{sin(x)}{x}-cos(x) [/mm]

Passt das so?^^

Bezug
                        
Bezug
Variation der Konstanten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:45 Sa 02.07.2011
Autor: notinX

Hallo,

> Jo stimmt komme dann auch auf die homogene Lösung
>  
> [mm]y=\bruch{C}{x}[/mm]
>  
> Also für die partikuläre:
>  
> [mm]y=\bruch{C(x)}{x}[/mm]
>  
> [mm]y'=\bruch{C'(x)*x-C(x)}{x^2}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{xsin(x)-y}{x}=\bruch{C'(x)*x-C(x)}{x^2}[/mm]
>  
> [mm]xsin(x)-y=C'(x)-\bruch{C(x)}{x}[/mm]
>  
> y eingesetzt:
>  
> xsin(x)=C'(x)
>  
> integral gelöst und eingesetzt komme ich dann auf:
>  
> [mm]y_{part}=\bruch{sin(x)}{x}-cos(x)[/mm]
>  
> Also gesamt:
>  
> [mm]y=\bruch{C}{x}+\bruch{sin(x)}{x}-cos(x)[/mm]
>  
> Passt das so?^^

jo stimmt. Kannst Du auch durch Nachrechnen überprüfen ;-)

Gruß,

notinX

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