Variation der Konstanten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo:)
Ich habe bei dieser Aufgabe schon da das Problem ,dass ich die Formel dazu nicht verstehe.
Würde mich über einen allgemeinen Weg freuen,wie ich diese aufgabe angehen kann.
Und wie ich allgemein solche Aufgaben löse.
Gruß mahefreak
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Di 28.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> y'+2y=cos(x)
> Hallo:)
>
> Ich habe bei dieser Aufgabe schon da das Problem ,dass ich
> die Formel dazu nicht verstehe.
>
> Würde mich über einen allgemeinen Weg freuen,wie ich
> diese aufgabe angehen kann.
>
> Und wie ich allgemein solche Aufgaben löse.
Schau mal da rein:
http://mathe-online.fernuni-hagen.de/MIB/HTML/node125.html
FREd
>
> Gruß mahefreak
|
|
|
| |
|
Also die homogne Lösung (Nennt man das so)? mit
y'+2y=0 ist die Lösung ja recht einfach zu finden:
Habe dann TdV angewendet:
[mm] -\bruch{1}{2y}dy=dx [/mm] Integralzeichen lass ich grad mal aus Tippfaulheit weg^^
[mm] -\bruch{1}{2}ln(y)=x+C
[/mm]
[mm] y=e^{-2(x+C)}
[/mm]
Wie geb ich dann jetz genau die Lösung an, und wie ich die inhomogenen finde hat sich mir noch nich so ganz erschlossen.Wir hatten da irgendws mit einer Störfunktion aber das oha^^.
gruß
|
|
|
| |
|
Also setz ich immer an das C meiner homogenen Lösung ein x??=C(x)
[mm] C_1(x)*e^{-2x}
[/mm]
Das Abgeleitet:
[mm] C_1*e^{-2x}+C_1x*(-2e^{-2x})=e^{-2x}(C_1-2C_1x) [/mm] ???
und dann setz ich die Gleich?
[mm] -2y+cos(x)=e^{-2x}(C_1-2C_1x) [/mm]
Was vergleiche ich denn da jetz genau? Und wie kann ich das ganze integrieren?ß
Gruß und dank
|
|
|
| |
|
Hallo mathefreak89,
> Also setz ich immer an das C meiner homogenen Lösung ein
> x??=C(x)
>
> [mm]C_1(x)*e^{-2x}[/mm]
>
> Das Abgeleitet:
>
> [mm]C_1*e^{-2x}+C_1x*(-2e^{-2x})=e^{-2x}(C_1-2C_1x)[/mm] ???
Hier meinst Du wohl
[mm]C_{1}^{\red{'}}\left(x\right)*e^{-2x}+C_{1}\left\blue{(}x\right\blue{)}*(-2e^{-2x})[/mm]
>
> und dann setz ich die Gleich?
>
Das setzt Du jetzt in die DGL ein und bestimmst daraus [mm]C_{1}\left(x\right)[/mm].
> [mm]-2y+cos(x)=e^{-2x}(C_1-2C_1x)[/mm]
>
> Was vergleiche ich denn da jetz genau? Und wie kann ich das
> ganze integrieren?ß
>
> Gruß und dank
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ja wenn ich nun
[mm] y_{part}'=C'(x)*e^{2x}+-2C(x)e^{2x}
[/mm]
einsetze in die DGL einsetze bei y' habe ich ja
[mm] C'(x)*e^{2x}+-2C(x)e^{2x}+2y=cos(x)
[/mm]
Wie kann ich denn dann jetz Integrieren und dann C bestimmen?
Gru´ß
|
|
|
| |
|
Moin,
> Ja wenn ich nun
>
> [mm]y_{part}'=C'(x)*e^{\red{-}2x}+-2C(x)e^{\red{-}2x}[/mm]
Im Exponenten überall ein Minus.
>
> einsetze in die DGL einsetze bei y' habe ich ja
>
> [mm]C'(x)*e^{\red{-}2x}+-2C(x)e^{\red{-}2x}+2y=cos(x)[/mm]
Hier musst du das y mit ersetzen, dann wirst du sehen, dass sich ausreichend viel weghebt.
LG
|
|
|
| |
|
Um das ganze nochmal aufzugreifen schreibe ich zunächste mal meinen kompletten rechenweg.
Hab erstmal die homogene Lösung gesucht mit
y'+2y=0
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y}dy}=\integral_{}^{}{-2 dx}
[/mm]
ln(y)=-2x+C
[mm] y=e^{-2x}*C
[/mm]
Für die inhomogenen Lösungen habe ich jetz y' gebildet.
[mm] y'=-2e^{-2x}*C(x)+e^{-2x}*C'(x)
[/mm]
Das y' erhalte ich aus y'+2y=cos(x) mit y'=cos(x)-2y
Also:
[mm] cos(x)-2y=-2e^{-2x}*C(x)+e^{-2x}*C'(x)
[/mm]
Nun habe ich ja y als homogene Lösung erhalten und setze ein:
[mm] cos(x)-2[e^{-2x}*C(x)]=-2e^{-2x}*C(x)+e^{-2x}*C'(x)
[/mm]
[mm] cos(x)=e^{-2x}*C'(x)
[/mm]
An dieser Stelle weiß ich leider nicht wie ich Integrieren soll da ich nicht weiß wie mit C'(x) umzugehen ist.
Außerdem stellen sich mir noch folgende Fragen:
Ist die vorgehensweise bei Variation der Konstanten folgende und immer gültig?
1.Homogene Lösung bilden indem die "rechte Seite" Null gesetzt wird?
2.Bilde ich dann von der homogenen Lösung die Ableitung und ersetzte das y' mit der nach y' umgeformten ausgangsgleichung??In diesem Fall y'+2y=cos(x)??
3.Ersetze ich dann auftauchende y mit meiner ausgerechneten homogenen Lösung?
4. Wird an dieser Stelle integriert und anschliend nach y umgestellt?
5 Bin ichd ann fertig? xD
Gruß mathefreak
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Mi 29.06.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
homogene Losung :y=C*f(x) dann y=C(x)*f(x) y'=C'(x)*f(x)+C(x)*f'(x) beides in die Dgl einsetzen. dann kriegst du eine gleichung für C'(x) die du sösen musst.
in deinem Fall kann man C durch 2 mal partielle integration u=cosx v'=e^2x bestimmen.
zu deiner Frage:
2.Bilde ich dann von der homogenen Lösung die Ableitung und ersetzte das y' mit der nach y' umgeformten ausgangsgleichung??In diesem Fall y'+2y=cos(x)??
3.Ersetze ich dann auftauchende y mit meiner ausgerechneten homogenen Lösung?
So ist es ungenau: ersetze die konstante C der hom- lösung durch C(x) bilde dann y und y' und setze beides in die inh. Dgl ein.
4. Wird an dieser Stelle integriert und anschliend nach y umgestellt?
da ist nix nach y umzustellen!
dann wird C'(x) integriert um C(x) zu bekommen.
dieses C(x)mit Integrationskonst. also [mm] C(x)=c(x)+C_1 [/mm] setzt du dann in y=C(x)*f)x) ein und hast die allg. lösung der inh. Gleichung .
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
in meinem Beispiel erhalt eich dann ja wenn ich y und y' einsetze:
[mm] C'(x)*e^{-2x}=cos(x)
[/mm]
Ist dann meine Gleichung für C'(x) gegeben als
[mm] C'(x)=\bruch{cos(x)}{e^{-2x}}
[/mm]
Wenn ich das integriere durch 2 malige partielle Integration erhalte ich;:
[mm] C(x)=\bruch{2cos(x)e^{2x}+sin(x)e^{2x}}{5}
[/mm]
War das richtig das gilt:sin(x)+cos(x)=1 udn somit sin(x)=1-cos(x)??
Wenn ja hab ich nach ersetzten des Sinus und kürzen folgende Form
[mm] \bruch{cos(x)e^{2x}+e^{2x}}{5}
[/mm]
Wenn ich dann nun mein C(x) in meine inhomogene Gleichung [mm] y=e^{-2x}*C(x) [/mm] einsetze erhalte ich am Ende.
[mm] \bruch{cos(x)}{5}
[/mm]
Ist das alles soweit ok?'?
So ist also die allgemeine Vorgehensweise?
gruß mathefreak
Naja
|
|
|
| |
|
Hallo mathefreak89,
> in meinem Beispiel erhalt eich dann ja wenn ich y und y'
> einsetze:
>
> [mm]C'(x)*e^{-2x}=cos(x)[/mm]
>
> Ist dann meine Gleichung für C'(x) gegeben als
>
> [mm]C'(x)=\bruch{cos(x)}{e^{-2x}}[/mm]
>
> Wenn ich das integriere durch 2 malige partielle
> Integration erhalte ich;:
>
> [mm]C(x)=\bruch{2cos(x)e^{2x}+sin(x)e^{2x}}{5}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> War das richtig das gilt:sin(x)+cos(x)=1 udn somit
> sin(x)=1-cos(x)??
Nein, das ist nicht richtig.
Vielmehr gilt:[mm]sin^{\blue{2}}(x)+cos^{\blue{2}}(x)=1[/mm]
>
> Wenn ja hab ich nach ersetzten des Sinus und kürzen
> folgende Form
>
> [mm]\bruch{cos(x)e^{2x}+e^{2x}}{5}[/mm]
>
> Wenn ich dann nun mein C(x) in meine inhomogene Gleichung
> [mm]y=e^{-2x}*C(x)[/mm] einsetze erhalte ich am Ende.
>
> [mm]\bruch{cos(x)}{5}[/mm]
>
> Ist das alles soweit ok?'?
>
> So ist also die allgemeine Vorgehensweise?
>
> gruß mathefreak
>
> Naja
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Wenn das nich gilt erhalte ich also für meine inhomogene Gleichung:
[mm] y=\bruch{2cos(x)+sin(x)}{5}
[/mm]
und homogene als:
[mm] y=e^{-2x}*C(x)
[/mm]
Wie schreibe ich denn dann meine beiden Lösungen mathematisch korrekt auf??
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo mathefreak89,
> Wenn das nich gilt erhalte ich also für meine inhomogene
> Gleichung:
>
> [mm]y=\bruch{2cos(x)+sin(x)}{5}[/mm]
>
> und homogene als:
>
> [mm]y=e^{-2x}*C(x)[/mm]
>
Die homogene Lösung lautet nur: [mm]y=e^{-2x}*C[/mm]
> Wie schreibe ich denn dann meine beiden Lösungen
> mathematisch korrekt auf??
Die Gesamtlösung der DGL ergibt sich dann zu:
[mm]y\left(x\right)=C*e^{-2x}+\bruch{2cos(x)+sin(x)}{5}[/mm]
>
> Gruß
>
Gruss
MathePower
|
|
|
|
