Variation der Konstanten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Fr 31.07.2009 | | Autor: | Apeiron |
| Aufgabe | Gesucht ist eine spezielle Lösung von:
[mm]y'=\pmat{\frac{1}{x}& -1\\ \frac{1}{x^2}&\frac{2}{x}}y+\vektor{x\\-x^2} \quad y(1)=0[/mm]
Die Wronski-Determinante des dazugehörigen homogenen Systems lautet:
[mm] \pmat{x^2&-x^2ln(x)\\-x&x+xln(x)} [/mm] |
Hallo!
Ich finde den Fehler einfach nicht..Könnte mir jemand bei der Korrektur helfen?
Mithilfe der Methode der Variation der Konstanten ist die Lösung durch [mm]y_p(x)=Y(x)*C(x)\quad C(x)=\integral{bY^{-1}} [/mm]gegeben.
[mm] Y^{-1}=\pmat{\frac{1+ln(x)}{x^2}&\frac{ln(x)}{x}\\\frac{1}{x^2}&\frac{1}{x}}
[/mm]
[mm] Y_p(x)=\integral{\vektor{\frac{1+ln(x)}{x}-ln(x)x\\\frac{1}{x}-x}dx}Y(x) [/mm]
Multipliziere ich das aus und setze die Anfangsbedingungen ein, erhalte ich für die Konstanten, die beim Integral aufgetreten sind und das [mm] Y(x)_p [/mm] allgemein:
[mm] \vektor{-x^2ln^2(x)-\frac{x^4ln(x)}{4}+\frac{x^2ln(x)}{4}+x^2ln(x)-\frac{x^4}{2}+\frac{x^2}{2}\\ln(x)x+xln^2(x)+\frac{x^3}{4}+\frac{x^3ln(x)}{4}-\frac{x}{4}+\frac{xln(x)}{4}-ln(x)x+\frac{x^3}{2}-\frac{x}{2}}
[/mm]
Danke!
Apeiron
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Hallo Apeiron,
> Gesucht ist eine spezielle Lösung von:
>
> [mm]y'=\pmat{\frac{1}{x}& -1\\ \frac{1}{x^2}&\frac{2}{x}}y+\vektor{x\\-x^2} \quad y(1)=0[/mm]
>
> Die Wronski-Determinante des dazugehörigen homogenen
> Systems lautet:
>
> [mm]\pmat{x^2&-x^2ln(x)\\-x&x+xln(x)}[/mm]
> Hallo!
>
> Ich finde den Fehler einfach nicht..Könnte mir jemand bei
> der Korrektur helfen?
>
> Mithilfe der Methode der Variation der Konstanten ist die
> Lösung durch [mm]y_p(x)=Y(x)*C(x)\quad C(x)=\integral{bY^{-1}} [/mm]gegeben.
>
> [mm]Y^{-1}=\pmat{\frac{1+ln(x)}{x^2}&\frac{ln(x)}{x}\\\frac{1}{x^2}&\frac{1}{x}}[/mm]
>
> [mm]Y_p(x)=\integral{\vektor{\frac{1+ln(x)}{x}-ln(x)x\\\frac{1}{x}-x}dx}Y(x)[/mm]
Bis hierhin ist alles ok.
>
> Multipliziere ich das aus und setze die Anfangsbedingungen
> ein, erhalte ich für die Konstanten, die beim Integral
> aufgetreten sind und das [mm]Y(x)_p[/mm] allgemein:
>
> [mm]\vektor{-x^2ln^2(x)-\frac{x^4ln(x)}{4}+\frac{x^2ln(x)}{4}+x^2ln(x)-\frac{x^4}{2}+\frac{x^2}{2}\\ln(x)x+xln^2(x)+\frac{x^3}{4}+\frac{x^3ln(x)}{4}-\frac{x}{4}+\frac{xln(x)}{4}-ln(x)x+\frac{x^3}{2}-\frac{x}{2}}[/mm]
Entweder liegt der Fehler beim Integrieren oder beim Ausmultiplizieren
beziehungsweise bei der Bestimmung der Konstanten.
Poste dazu die Rechenschritte. wie Du zu diesem Ergebnis gekommen bist.
>
> Danke!
>
> Apeiron
Gruß
MathePower
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