Varianz der Binomialverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
wir sollten übers Wochenende in Mathe beweisen, dass bei der Binomialverteilung für Varianz [mm] V(x)=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}p^k(1-p)^{n-k}(np-k)² [/mm]
V(x)=np(1-p) gilt.
Ich habe mit Hilfe des Internets jetzt auch einen Beweis gefunden allerdings glaube ich, dass es noch einen besser verständlichen Beweis geben muss und ich verstehe zwei Schritte in dem Beweis nicht.
Vielleicht kann mir ja einer von euch helfen:
V(x) = -(np)²+np+ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}p^k(1-p)^{n-k}k(k-1)
[/mm]
bis hier kann ich folgen, jetzt heißt es, wegen [mm] k(k-1)\vektor{n \\ k}=n(n-1)\vektor{n-2 \\ k-2} [/mm] wieso?
wird weiter Umgeformt, die Indexverschiebung verstehe ich auch wieder, so dass V(x) = -(np)²+np+ [mm] n(n-1)\summe_{k=-2}^{n-2}\vektor{n-2 \\ k}p^{k+2}(1-p)^{n-2-k}
[/mm]
Im nächsten Schritt wird aber aus dem k=-2 im Summenzeichen einfach k=0
V(x) = -(np)²+np+ [mm] n(n-1)p²\summe_{k=0}^{n-2}\vektor{n-2 \\ k}p^{k}(1-p)^{n-2-k}
[/mm]
wieso?
Der Rest ist dann wieder ganz logisch.
Danke schon mal im Voraus. Vielleicht kannt ihr ja einen anderen Weg.
Gruß,
Rachel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 So 05.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Rachel,
> bis hier kann ich folgen, jetzt heißt es, wegen
> [mm]k(k-1)\vektor{n \\ k}=n(n-1)\vektor{n-2 \\ k-2}[/mm] wieso?
Schreibe mal aus, was auf der linken Seite steht. Du musst natürlich wissen, dass
[mm] k!=k*(k-1)*(k-2)*\ldots*1
[/mm]
und [mm] \vektor{n \\ k}=\bruch{n!}{k!(n-k)!}:
[/mm]
[mm] k(k-1)\vektor{n \\ k}=k(k-1)\bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm]
k(k-1) wird gekürzt und n(n-1) vor den Bruch gezogen und n-k=n-2-(k-2):
[mm] =n(n-1)\bruch{(n-2)!}{(k-2)!(n-2-(k-2))}=n(n-1)*\vektor{n-2 \\ k-2}
[/mm]
> wird weiter Umgeformt, die Indexverschiebung verstehe ich
> auch wieder, so dass V(x) = [mm] -(np)²+np+n(n-1)\summe_{k=-2}^{n-2}\vektor{n-2 \\ k}p^{k+2}(1-p)^{n-2-}
[/mm]
>
> Im nächsten Schritt wird aber aus dem k=-2 im Summenzeichen
> einfach k=0
> V(x) = -(np)²+np+ [mm]n(n-1)p²\summe_{k=0}^{n-2}\vektor{n-2 \\ k}p^{k}(1-p)^{n-2-k}[/mm]
>
> wieso?
also [mm] p^2 [/mm] wird ausgeklammert und der Binomialkoeffizient, bzw. k! ist für negative Zahlen eigentlich nicht definiert. Ich bin mir jetzt auch nicht sicher, aber es kann sein, dass er dann per Definiton =0 gesetzt wird. Falls dem so ist, wären dann diese Summanden auch gleich Null und könnten somit einfach weggelassen werden. Die Summe müsste also nur ab k=0 starten.
L G walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 06.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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