Varianz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:10 Do 17.06.2010 | | Autor: | varianz12345 |
Hi,
der Erwartungswert kann auch mit der verallgemeinerten inverse Funktion dargestellt werden:
[mm] E(X)=\integral_{0}^{1}{F^{-1}_{X}(y) dy}
[/mm]
Ich würde jetzt gerne wissen, ob es auch die Varianz über die verallg. inv. Funktion dargestellt werden kann?
Ich bin mir nicht sicher und ich kann es auch nirgendwo finden, aber könnte es womöglich so sein:
[mm] Var(X)=\integral_{0}^{1}{y*F^{-1}_{X}(y) dy}
[/mm]
mfg,
varianz12345
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Do 17.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Hi,
>
> der Erwartungswert kann auch mit der verallgemeinerten
> inverse Funktion dargestellt werden:
>
> [mm]E(X)=\integral_{0}^{1}{F^{-1}_{X}(y) dy}[/mm]
Klappt das immer?
>
> Ich würde jetzt gerne wissen, ob es auch die Varianz über
> die verallg. inv. Funktion dargestellt werden kann?
>
> Ich bin mir nicht sicher und ich kann es auch nirgendwo
> finden, aber könnte es womöglich so sein:
Nun, wenn man sich von
[mm] \integral_{\IR} xf(x)dx=\integral_{\IR} F^{-1}(F(x))dF(x)=\integral_{[0,1]}F^{-1}(y)dy
[/mm]
leiten läßt, würde ich sagen, es kann - wenn man das so machen darf - nur
[mm] \integral_{\IR} x^2f(x)dx=\integral_{\IR} (F^{-1}(F(x)))^2dF(x)=\integral_{[0,1]}(F^{-1}(y))^2dy
[/mm]
sein.
LG
gfm
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Hi,
$ [mm] E(X)=\integral_{0}^{1}{F^{-1}_{X}(y) dy} [/mm] $ klappt immer, siehe dazu: ![[]](/images/popup.gif) Theorem 4.5
Bei deiner Umformung $ [mm] \integral_{\IR} xf(x)dx=\integral_{\IR} F^{-1}(F(x))dF(x) [/mm] $ gilt die Gleichheit nicht immer, denn
$ [mm] F^{-1}(F(x)) \le [/mm] x $ ; gilt nur bei stetigem $ F(X) $ ???
hmmm, [mm] $\integral_{[0,1]}(F^{-1}(y))^2dy [/mm] $ ist vielleicht nützlich und lässt sich mit "Calculation from the CDF" kombinieren.
vielen dank,
varianz12345
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:58 Fr 18.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Hi,
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> [mm]E(X)=\integral_{0}^{1}{F^{-1}_{X}(y) dy}[/mm] klappt immer,
> siehe dazu:
> Theorem 4.5
>
> Bei deiner Umformung [mm]\integral_{\IR} xf(x)dx=\integral_{\IR} F^{-1}(F(x))dF(x)[/mm]
> gilt die Gleichheit nicht immer, denn
> [mm]F^{-1}(F(x)) \le x[/mm] ; gilt nur bei stetigem [mm]F(X)[/mm] ???
Nun, ich glaube es gilt doch, nur taugt meine Umformung nur dazu, auf die Idee zu kommen, dass es gilt: Nach Theorem 4.2 gilt für eine beliebige ZV [mm]X:\Omega\to\IR[/mm] mit [mm]P(X\ge 0)=1[/mm], dass [mm]E(X)=\integral_{\IR_0^+}(1-F_X(y))dy[/mm]. Dann gilt für [mm]X^2[/mm] unter der gleichen Voraussetzung [mm]P(X\ge 0)=1[/mm], dass [mm]E(X^2)=\integral_{\IR_0^+}(1-F_{X^2}(y))dy[/mm]. Nun ist aber [mm]F_{X^2}(y)=P(X^2\le y)=P(X\le \wurzel{y})=F_X(\wurzel{y})[/mm]. Deswegen gilt auch [mm]E(X^2)=\integral_{\IR_0^+}(1-F_X(\wurzel{y}))dy[/mm]. Und wenn [mm]P(X\le 0)=1[/mm] gilt, kann man analog schreiben
[mm]E(X^2)=\integral_{\IR_0^-} x^2dF_X(x)=\integral_{\IR_0^-}\integral_{\IR_0^+}1_{(0,x^2)}(y)dydF_X(x)=\integral_{\IR_0^-}\integral_{\IR_0^+}1_{(0,-x)}(\wurzel{y})dydF_X(x)=\integral_{\IR_0^+}\integral_{\IR_0^-}1_{(0,-x)}(\wurzel{y})dF_X(x)dy[/mm]
[mm]=\integral_{\IR_0^+}\integral_{\IR_0^-}1_{(\wurzel{y},\infty)}(-x)dF_X(x)dy=\integral_{\IR_0^+}\integral_{\IR_0^-}1_{(-\infty,-\wurzel{y})}(x)dF_X(x)dy=\integral_{\IR_0^-}F_X(-\wurzel{y})dy[/mm]
Folgt man der Argumentation von von Theorem 4.5, so ist für eine ZV mit [mm]X\ge 0[/mm] ([mm]I:=[0,1][/mm])
[mm]\integral_I(F_X^{-1}(x))^2dx=...=\integral_{\IR_0^+}\integral_I1_{(0,(F_X^{-1}(x))^2)}(y)dydx=\integral_{\IR_0^+}\integral_I1_{(0,F_X^{-1}(x))}(\wurzel{y})dydx=...=\integral_{\IR_0^+}(1-F_X(\wurzel{y}))dy=E(X^2)[/mm]
Wenn [mm]X\le 0[/mm] gilt, so ist
[mm]\integral_I(F_X^{-1}(x))^2dx=\integral_I\integral_{\IR_0^+}1_{(0,(F_X^{-1}(x))^2)}(y)dydx=\integral_I\integral_{\IR_0^+}1_{(0,-F_X^{-1}(x))}(\wurzel{y})dydx=\integral_I\integral_{\IR_0^+}1_{(F_X^{-1}(x),0)}(-\wurzel{y})dydx[/mm]
[mm]=\integral_I\integral_{\IR_0^+}1_{(F_X^{-1}(x),0)}(-\wurzel{y})dydx=\integral_{\IR_0^+}\integral_I1_{(F_X^{-1}(x),0)}(-\wurzel{y})dxdy=\integral_{\IR_0^+}\integral_I1_{(0,F_X(-\wurzel{y}))}(x)dxdy=\integral_{\IR_0^+}F_X(-\wurzel{y})dy=E(X^2)[/mm]
Den Rest erledigt dann wieder Lemma 4.2.
Was meinst Du?
LG
gfm
P.S.: Vielen Dank für den Link. Wieder mal ein Beispiel für den gewinnbringenden Einsatz von Indikatorfunktionen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 20.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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hey du bist super :)
Die Umformungen sind alle richtig, so weit ich das sehen kann.
> Den Rest erledigt dann wieder
> Lemma 4.2.
Wenn ich jetzt für eine bel. ZVe X den [mm] $E(X^2)& [/mm] uber die Quantilfunktion [mm] $F^{-1}_{X}$ [/mm] bestimmt will, dann bekomme ich folgendes:
[mm] $E(X^2)=E((X^{+}-X^{-})^2)=E((X^{+})^2-2X^{+}X^{-}+(X^{-})^2)=E((X^{+})^2)-2E(X^{+}X^{-})+E((X^{-})^2)
[/mm]
[mm] =\integral_I(F_{X^{+}}^{-1}(x))^2dx [/mm] - [mm] \integral_I(2*F_{X^{+}X^{-}}^{-1}(x))dx [/mm] + [mm] \integral_I(F_{X^{-}}^{-1}(x))^2dx
[/mm]
[mm] =\integral_I(F_{(X^{+})^2}^{-1}(x)- F_{2X^{+}X^{-}}^{-1}(x)+F_{(X^{-})^2}^{-1}(x))dx =\integral_IF_{(X^{+})^2-2X^{+}X^{-}+(X^{-})^2}^{-1}(x)dx=\integral_IF_{X^2}^{-1}(x)dx=\integral_I{(F_{X}^{-1}(x))^2dx}$
[/mm]
Richtig???
Für Varianz müsste dann gelten:
[mm] $Var(X)=E(X^2)-E(X)^2=\integral_{0}^{1}{(F_{X}^{-1}(x))^2dx} [/mm] - [mm] (\integral_{0}^{1}{F^{-1}_{X}(x) dx})^2$
[/mm]
Was meist du??
Viele Grüße,
varianz12345
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:33 Do 24.06.2010 | | Autor: | gfm |
> hey du bist super :)
> Die Umformungen sind alle richtig, so weit ich das sehen
> kann.
>
> > Den Rest erledigt dann wieder
> >
> Lemma 4.2.
>
> Wenn ich jetzt für eine bel. ZVe X den [mm]$E(X^2)&[/mm] uber die
> Quantilfunktion [mm]$F^{-1}_{X}$[/mm] bestimmt will, dann bekomme
> ich folgendes:
>
> [mm]$E(X^2)=E((X^{+}-X^{-})^2)=E((X^{+})^2-2X^{+}X^{-}+(X^{-})^2)=E((X^{+})^2)-2E(X^{+}X^{-})+E((X^{-})^2)[/mm]
>
> [mm]=\integral_I(F_{X^{+}}^{-1}(x))^2dx[/mm] -
> [mm]\integral_I(2*F_{X^{+}X^{-}}^{-1}(x))dx[/mm] +
> [mm]\integral_I(F_{X^{-}}^{-1}(x))^2dx[/mm]
>
> [mm]=\integral_I(F_{(X^{+})^2}^{-1}(x)- F_{2X^{+}X^{-}}^{-1}(x)+F_{(X^{-})^2}^{-1}(x))dx =\integral_IF_{(X^{+})^2-2X^{+}X^{-}+(X^{-})^2}^{-1}(x)dx=\integral_IF_{X^2}^{-1}(x)dx=\integral_I{(F_{X}^{-1}(x))^2dx}$[/mm]
>
> Richtig???
>
> Für Varianz müsste dann gelten:
>
> [mm]Var(X)=E(X^2)-E(X)^2=\integral_{0}^{1}{(F_{X}^{-1}(x))^2dx} - (\integral_{0}^{1}{F^{-1}_{X}(x) dx})^2[/mm]
>
> Was meist du??
>
Ja, denke ich. Man könnte sich das $X^+X^-$ sogar sparen, da es identisch verschwindet.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Sa 26.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:25 So 20.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Hi,
>
> [mm]E(X)=\integral_{0}^{1}{F^{-1}_{X}(y) dy}[/mm] klappt immer,
> siehe dazu:
> Theorem 4.5
>
> Bei deiner Umformung [mm]\integral_{\IR} xf(x)dx=\integral_{\IR} F^{-1}(F(x))dF(x)[/mm]
> gilt die Gleichheit nicht immer, denn
> [mm]F^{-1}(F(x)) \le x[/mm] ; gilt nur bei stetigem [mm]F(X)[/mm] ???
>
>
> hmmm, [mm]\integral_{[0,1]}(F^{-1}(y))^2dy[/mm] ist vielleicht
> nützlich und lässt sich mit
> "Calculation from the CDF"
> kombinieren.
>
Und eigentlich braucht man auch nicht großartig was zu beweisen:
Auf dem W-Raum [mm](\Omega,\mathcal{A},P):=([0,1],\mathcal{B}[0,1], \lambda)[/mm] hat die explizite ZV [mm]Z:=F_X^{-1}:[0,1]\to\IR[/mm] die Verteilung einer ZV [mm]X[/mm] mit der Verteilung [mm]F_X[/mm]. [mm]\operatorname{E}(g\circ Z)[/mm] hat dann - falls es existiert - dann doch immer den Wert [mm]\integral_\Omega g\circ ZdP=\integral_{[0,1]}g\circ F_X^{-1}d\lambda[/mm], oder?
LG
gfm
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ja , das stimmt.
Mit $ [mm] g(x)=x^2 [/mm] $ und dem Lebesque Maß gilt dann, dass
[mm] $E(g\circ Z)=\integral_{[0,1]}{(F^{-1}_{X})^2 d\lambda}=\integral_{0}^{1}{(F^{-1}_{X}(x))^2 dx}$
[/mm]
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Die Frage ist eigentlich noch unbeantwortet geblieben,
hat schon jmd. das folg. Integral schon mal irgendwo gesehen??
$ [mm] \integral_{0}^{1}{y\cdot{}F^{-1}_{X}(y) dy} [/mm] $
wobei [mm] $F^{-1}_{X}(y)$ [/mm] die verallg. Inverse der Verteilungsfkt. [mm] $F_{X}(y)$ [/mm] ist.
mfg
varianz12345
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 07.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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