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| Aufgabe | | Sei K ein Körper, sei d in [mm] \IN, [/mm] und seien [mm] c_{0}, c_{1},...,c_{d} [/mm] in K nicht alle o. Zeige, dass # { [mm] \lambda \in [/mm] K; [mm] c_{0}+c_{1}\lambda+.....+c_{d}\lambda^{d} [/mm] } [mm] \le [/mm] d |
Hi zusammen!
Ich habe mal wieder ein Problem, diese Aufgabe überfordert mich etwas.. Also ich habe noch den Tip, ich solle das mit Vandermonde n=d+1 angehen.. Ich habe schon wenig Ahnung wie die dazugehörige Matrix aussieht, geschweige dann wie man Vandermonde anwendet..
Wäre sehr froh um Tipps..
Vielen lieben Dank Ersti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Mo 02.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hey Ersti,
> Sei K ein Körper, sei d in [mm]\IN,[/mm] und seien [mm]c_{0}, c_{1},...,c_{d}[/mm]
> in K nicht alle o. Zeige, dass [mm]# \{ \lambda \in K; c_{0}+c_{1}\lambda+.....+c_{d}\lambda^{d} \} \le d[/mm]
du meinst sicher [mm] $\#\{ \lambda \in K \mid c_0 + c_1 \lambda + \dots + c_d \lambda^d \red{{} = 0} \} \le [/mm] d$, oder?
> Ich habe mal wieder ein Problem, diese Aufgabe überfordert
> mich etwas.. Also ich habe noch den Tip, ich solle das mit
> Vandermonde n=d+1 angehen.. Ich habe schon wenig Ahnung wie
> die dazugehörige Matrix aussieht, geschweige dann wie man
> Vandermonde anwendet..
Die Aussage kannst du am besten per Widerspruch beweisen. Angenommen, sie gilt nicht. Dann hat diese Menge mindestens $d + 1$ Elemente, sagen wir mal [mm] $a_0, \dots, a_d$ [/mm] mit [mm] $a_i \neq a_j$ [/mm] fuer $i [mm] \neq [/mm] j$. Und dann hast du die Gleichungen [mm] $c_0 [/mm] + [mm] c_1 a_i^1 [/mm] + [mm] c_2 a_i^2 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] c_d a_i^d [/mm] = 0$, $i = 0, [mm] \dots, [/mm] d$. Versuch das mal in ein lineares Gleichungssystem der Form $A x = 0$ umzuschreiben. Die Matrix $A$ sollte dann eine Vandermonde-Matrix sein :)
Kommst du jetzt weiter?
LG Felix
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Erst mal vielen herzlichen Dank für die Antwort..
Ja habe heute erfahren, dass sie das versehentlich vergessen haben in der Aufgabe zu schreiben, das =0
Ok nun, ich verstehe jetzt einigermassen wie ich auf die Vandermonde Matrix komme, nur wenn ich die habe, also meiner Meinung nach:
[mm] \pmat{1 & a_{0} & a_{0}^{2} & .... & a_{0}^{d}\\1 & a_{1} & a_{1}^{2} & .... & a_{1}^{d}\\ ... \\ ... \\ 1 & a_{d} & a_{d}^{2} & .... & a_{d}^{d}}
[/mm]
Oder? Nur dann mit Vandermonde bin ich totaler Neueinsteiger.. Nun muss ich die Mächtigkeit feststellen, nur wie geh ich da ran? Kann mir jemand helfen? Vielen Dank!!
Ersti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Di 03.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Erst mal vielen herzlichen Dank für die Antwort..
> Ja habe heute erfahren, dass sie das versehentlich
> vergessen haben in der Aufgabe zu schreiben, das =0
> Ok nun, ich verstehe jetzt einigermassen wie ich auf die
> Vandermonde Matrix komme, nur wenn ich die habe, also
> meiner Meinung nach:
> [mm]\pmat{1 & a_{0} & a_{0}^{2} & .... & a_{0}^{d}\\1 & a_{1} & a_{1}^{2} & .... & a_{1}^{d}\\ ... \\ ... \\ 1 & a_{d} & a_{d}^{2} & .... & a_{d}^{d}}[/mm]
>
> Oder?
Genau.
> Nur dann mit Vandermonde bin ich totaler
> Neueinsteiger.. Nun muss ich die Mächtigkeit feststellen,
> nur wie geh ich da ran? Kann mir jemand helfen? Vielen
> Dank!!
Sagen wir mal, du hast ein Polynom $f = [mm] c_0 [/mm] + [mm] c_1 [/mm] x + [mm] \dots [/mm] + [mm] c_d x^d$ [/mm] mit [mm] $c_0, \dots, c_d \in [/mm] K$. Dann gilt genau dann [mm] $f(a_0) [/mm] = [mm] \dots [/mm] = [mm] f(a_d) [/mm] = 0$, wenn der Koeffizientenvektor [mm] $(c_0, \dots, c_d)$ [/mm] im Kern von der Matrix oben liegt. (Ueberleg dir das wenn du es nicht sofort siehst.)
Sprich, es gibt genau dann ein Polynom [mm] $\neq [/mm] 0$ von Grad [mm] $\le [/mm] d$, welches die Nullstellen [mm] $a_0, \dots, a_d$ [/mm] hat, wenn der Kern der obigen Matrix nicht-trivial ist. Kannst du dies in eine Aussage ueber die Vandermonde-Determinante uebersetzen? Und das dann mit der urspruenglichen Aussage in Zusammenhang bringen (ist sozusagen Kontraposition bzw. Widerspruch, je nachdem wie man es formuliert)?
LG Felix
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Vielen herzlichen Dank für die Antwort, nun:
es ist mir klar, dass die Koeffizienten im kern liegen müssen, den der Kern wird ja durch die Funktion auf Null abgebildet.. So weit so gut =)
Nur wie kommst du überhaupt auf eine Funktion? Und was sind dann die [mm] a_{i}? [/mm] Habe gerade ein grösseres Chaos in meinem Kopf..
Ich weiss noch, dass es einen Satz gibt, über die Dimensionen von Kern im Zusammenhang mit der Determinante.. Irgedwie, die Determinante darf nicht gleich null sein oder so.. Muss ich noch nachschlagen.. Aber hast du den satz gemeint, oder schiesse ich wieder mal am Ziel vorbei?
Vielen lieben Dank Ersti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 Do 05.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Ersti!
> Vielen herzlichen Dank für die Antwort, nun:
> es ist mir klar, dass die Koeffizienten im kern liegen
> müssen, den der Kern wird ja durch die Funktion auf Null
> abgebildet.. So weit so gut =)
> Nur wie kommst du überhaupt auf eine Funktion? Und was
> sind dann die [mm]a_{i}?[/mm] Habe gerade ein grösseres Chaos in
> meinem Kopf..
Die [mm] $a_i$s [/mm] sind die Nullstellen.
> Ich weiss noch, dass es einen Satz gibt, über die
> Dimensionen von Kern im Zusammenhang mit der Determinante..
> Irgedwie, die Determinante darf nicht gleich null sein oder
> so.. Muss ich noch nachschlagen.. Aber hast du den satz
> gemeint, oder schiesse ich wieder mal am Ziel vorbei?
Das ist schon fast das was ich meinte :) Die Determinante ist genau dann ungleich 0, wenn der Endomorphismus bijektiv ist, und bei Endomorphismen von endlichdimensionalen Vektorraeumen ist das aequivalent dazu, dass der Endomorphismus injektiv ist, also dass der Kern Dimension 0 hat.
LG Felix
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