Vandermonde-Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:48 So 06.05.2012 | | Autor: | DerBaum |
| Aufgabe | [mm](a)[/mm] Seien $K$ ein Körper und [mm] $t_0,...,t_n\in [/mm] K$ paarweise verschieden. [mm] Für$0\leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] n$ sei [mm] $\P_i=\produkt_{i\neq j}\frac{(x-t_j)}{t_i-t_j}$.
[/mm]
Sei [mm] $$\mathcal{V}(t_0,...,t_n):=\pmat{1&t_0&t_0^2&\hdots & t_0^n\\ 1&t_1&t_1^2&\hdots & t_1^n\\ 1&t_2&t_2^2&\hdots & t_2^n\\ \vdots & \vdots & \vdots && \vdots \\ 1&t_n&t_n^2&\hdots & t_n^n\\}$$
[/mm]
Sei [mm] $\mathcal{B}:=(a,x,...,x^n)$ [/mm] und [mm] $\mathcal{B}':=(P_0,...,P_n)$. [/mm] Zeigen Sie, dass für alle [mm] $\alpha\in\mathbb{P}_n,[\alpha]_{\mathcal{B}'}=\mathcal{V}(t_0,...,t_n)[\alpha]_\mathcal{B}$ [/mm] gilt.
Diese Matrix heißt die [mm] $\textbf{Vandermonde-Matrix}$.
[/mm]
[mm](b)[/mm] Sei [mm] $w_0,w_1,w_2\in\mathbb{Q}$. [/mm] Sei [mm] $t_0=1, t_1=-1, t_2=2\in\mathbb{Q}$. [/mm] Sei [mm] $p\in\mathbb{P}_2$, [/mm] so dass [mm] $$[p]_{\mathcal{B}'}=\vektor{w_o\\w_1\\w_2}$.$ [/mm] Finden Sie [mm] $[p]_\mathcal{B}$.
[/mm]
Hinweis: Berechnen Sie die Matrix [mm] $\mathcal{V}(t_0,t_1,t_3)^{-1}$ [/mm] |
Guten Abend,
ich hänge gerade bei dieser Aufgabe...
stehe leider total auf dem Schlauch.
Kann mir hier vielleicht jemand weiterhelfen?
Würde mich über jegliche Hilfe freuen.
lG
DerBaum
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:43 So 06.05.2012 | | Autor: | DerBaum |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also letztendlich muss ich ja zeigen, dass gilt:
$$\pmat{1&t_0&t_0^2&\hdots & t_0^n\\ 1&t_1&t_1^2&\hdots & t_1^n\\ 1&t_2&t_2^2&\hdots & t_2^n\\ \vdots & \vdots & \vdots && \vdots \\ 1&t_n&t_n^2&\hdots & t_n^n\\}*(1,x,x^2,...,x^n)=(P_1,...,P_n)$$
Aber wie mache ich das jetzt?
Und ich verstehe auch noch nicht so ganz, wie jetzt $P_i$ definiert ist.
Wie würde denn $P_1$ aussehen?
$$P_1=\produkt_{i\neq j}{\frac{x-t_j}{t_1-t_j}$$ ???
Aber was ist hier $t_j$?
Vielen Dank
lG
DerBaum
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(Frage) überfällig | | Datum: | 20:27 So 06.05.2012 | | Autor: | DerBaum |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Okay, also das Problem mit den $P_i$ hab ich inzwischen gelöst.
$$P_i=\produkt_{i\neq j}{\frac{(x-t_j)}{(t_i-t_j)}=\frac{(x-t_0)}{(t_i-t_0)}*...*\frac{(x-t_{i-1})}{(t_i-t_{i-1})}*\frac{(x-t_{i+1})}{(t_i-t_{i+1})}*...*\frac{(x-t_{n})}{(t_i-t_{n})}$$
oder?
Aber ich steh trotzdem noch voll auf dem schlauch und weiß nicht, wie ich hier anfangen soll.
Bitte, bitte kann mir hier jemand helfen :(
lG
DerBaum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Mo 07.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:20 Mo 07.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Di 08.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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