Value at Risk log-normalvert. < Versicherungsmat < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Do 03.01.2013 | | Autor: | meg |
| Aufgabe | Es sei $ X $ eine log-normalverteilte Zufallsvariable $ X $ mit Erwartungswert $ [mm] \mu \in \mathbb{R} [/mm] $, Varianz $ [mm] \sigma [/mm] ^2 > 0 $ und es sei ein $ [mm] \alpha \in [/mm] (0,1) $. Beweisen Sie, dass Folgendes gilt:
[mm] \[ VaR_{ \alpha}(X)= e^{ \mu + \Phi^{-1}( \alpha) \sigma} \]
[/mm]
wobei $ [mm] \Phi [/mm] $ die Standard-Normalverteilungsfunktion ist und $ [mm] \Phi^{-1} [/mm] ( [mm] \alpha) [/mm] $ das $ [mm] \alpha$-Quantil [/mm] von $ [mm] \Phi [/mm] $. |
Aus X $ [mm] \sim \mathcal{L} \mathcal{N}( \mu [/mm] , [mm] \sigma^2 [/mm] ) $ folgt $ lnX [mm] \sim \mathcal{N}( \mu, \sigma [/mm] ^2) $.
VaR unter Normalverteilungsannahme beträgt: [mm] \\
[/mm]
$ [mm] VaR_{ \alpha}(X)= \mu [/mm] + [mm] \sigma \Phi^{-1} [/mm] ( [mm] \alpha) \quad \Rightarrow \quad [/mm] VaR(lnX) = [mm] \mu [/mm] + [mm] \sigma \Phi^{-1} [/mm] ( [mm] \alpha) \quad \Rightarrow \quad e^{VaR(lnX)} [/mm] = [mm] e^{ \mu + \sigma \Phi^{-1} ( \alpha) }$ \\
[/mm]
Wegen [mm] $e^{lnX} [/mm] = X$ gilt [mm] $e^{VaR(lnX)} [/mm] = [mm] VaR_{ \alpha }(X)$ \\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow VaR_{ \alpha }(X) [/mm] = [mm] e^{\mu + \sigma \Phi^{-1} ( \alpha)} [/mm] $
Ist mein Beweis so ok ??
|
|
| |
|
> Es sei [mm]X[/mm] eine log-normalverteilte Zufallsvariable [mm]X[/mm] mit
> Erwartungswert [mm]\mu \in \mathbb{R} [/mm], Varianz [mm]\sigma ^2 > 0[/mm]
> und es sei ein [mm]\alpha \in (0,1) [/mm]. Beweisen Sie, dass
> Folgendes gilt:
> [mm]\[ VaR_{ \alpha}(X)= e^{ \mu + \Phi^{-1}( \alpha) \sigma} \][/mm]
>
> wobei [mm]\Phi[/mm] die Standard-Normalverteilungsfunktion ist und
> [mm]\Phi^{-1} ( \alpha)[/mm] das [mm]\alpha[/mm]-Quantil von [mm]\Phi [/mm].
>
> Aus X [mm]\sim \mathcal{L} \mathcal{N}( \mu , \sigma^2 )[/mm] folgt
> [mm]lnX \sim \mathcal{N}( \mu, \sigma ^2) [/mm].
>
> VaR unter Normalverteilungsannahme beträgt: [mm]\\
[/mm]
>
> [mm]\red{VaR_{ \alpha}(X)= \mu + \sigma \Phi^{-1} ( \alpha) \quad \Rightarrow \quad VaR(lnX) = \mu + \sigma \Phi^{-1} ( \alpha)} \quad \Rightarrow \quad e^{VaR(lnX)} = e^{ \mu + \sigma \Phi^{-1} ( \alpha) }[/mm]
Der rote Ausdruck kann einfach nicht gelten!
> [mm]\\
[/mm]
>
> Wegen [mm]e^{lnX} = X[/mm] gilt [mm]e^{VaR(lnX)} = VaR_{ \alpha }(X)[/mm] [mm]\\
[/mm]
Hier machst du es dir zu einfach.
Du weißt nur
[mm]VaR_p(X)=VaR_(e^{\log X})[/mm]
Niemand sagt, dass man da die Exponentialfunktion einfach herausziehen kann.
>
> [mm]\Rightarrow VaR_{ \alpha }(X) = e^{\mu + \sigma \Phi^{-1} ( \alpha)}[/mm]
>
>
> Ist mein Beweis so ok ??
Das ist ein Bezeichnungswirrwarr.
Sei [mm]X\sim \mathcal{LN}(\mu,\sigma^2)[/mm], dann ist [mm]Y:=\log X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)[/mm]. Damit gilt für Y:
[mm]VaR_{ \alpha}(\log X)=VaR_{ \alpha}(Y)= { \mu + \Phi^{-1}( \alpha) \sigma} [/mm]
...
Ich würde aber komplett anders anfangen:
Sei [mm] $X\sim \mathcal{LN}(\mu,\sigma^2)$. [/mm] Dann gilt
[mm] $P(X\leq x_{1-p})=\ldots$
[/mm]
und das nach [mm] $x_{1-p}$ [/mm] auflösen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Fr 04.01.2013 | | Autor: | meg |
Hallo, erstmal danke für deinen Beitrag.
Ich versuche dann nach $ [mm] x_{p} [/mm] $ aufzulösen.
$X [mm] \sim \mathcal{LN}( \mu, \sigma [/mm] ^2)$
[mm] $P(X\leq \Phi [/mm] ^{-1}( [mm] \alpha))= [/mm] P(lnX [mm] \leq [/mm] ln ( [mm] \Phi [/mm] ^{-1}( [mm] \alpha))) [/mm] = [mm] \Phi [/mm] ( [mm] \frac{ln ( \Phi ^{-1}( \alpha))- \mu}{ \sigma}) [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] VaR(lnX)= [mm] \mu [/mm] + [mm] \sigma \Phi [/mm] ^{-1}( [mm] \alpha) [/mm] $
d.h. $ P(lnX [mm] \leq \mu [/mm] + [mm] \sigma \Phi [/mm] ^{-1}( [mm] \alpha)) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow P(e^{lnX} \leq e^{\mu + \sigma \Phi ^{-1}( \alpha)}) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] P(X [mm] \leq e^{\mu + \sigma \Phi ^{-1}( \alpha)}) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow VaR_{\alpha} [/mm] X = [mm] e^{\mu + \sigma \Phi ^{-1}( \alpha)} [/mm] $
Wäre das richtig?
Bzgl. meiner vorherigen Denkweise:
Wirre Bezeichnungen, das stimmt, jetzt erst sehe ich es :-o
Wäre das untere auch falsch und zu einfach, wenn man die Exponentialfunktion nur für $ln X$ bildet ?
$ VaR(lnX) = [mm] \mu [/mm] + [mm] \sigma \Phi^{-1} [/mm] ( [mm] \alpha)$ \\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow {VaR(e^{lnX})} [/mm] = [mm] e^{ \mu + \sigma \Phi^{-1} ( \alpha) }$ \\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow VaR_{ \alpha }(X) [/mm] = [mm] e^{\mu + \sigma \Phi^{-1} ( \alpha)} [/mm] $
VG
meg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 06.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 So 06.01.2013 | | Autor: | meg |
Hallo,
vielleicht findet sich doch jemand, der auf meine Frage eine Antwort findet...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 So 06.01.2013 | | Autor: | meg |
Huhu, ich bin erleichtert...
Danke Luis! 
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
