VR der Polynome, Abb. als Matr < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Mi 18.05.2005 | | Autor: | baddi |
Hi all :)
Ich habe hier eine Aufgabe, die für Euch sicher trivial ist... aber ich blick gleich nicht recht durch.
Gegeben:
Ein VR aller Polynome mir reeelen Koeffizienten mit Grad < 6
Kurz: V = {p [mm] \in \IR [/mm] | deg p <6 }
Und eine Abbildung F: V -> V die Shift- Abbildung (Fp)(t) = p(t+1)
Gesucht:
Matrixdarstellung von F btgl. Basis {1, t, .... , [mm] t^5}
[/mm]
Hier meine Fragen:
Jemand hatte die Lösung abgeschrieben ohne Sie zu verstehen und meinte
F(1) = 1.
Aber warum?
Entspricht nicht F(1) = p( 1 + 1 ) ??
Also einem Ausdruck mit 5 Koeefizienten ... einem Polynom ?
Genauer: [mm] p_0 [/mm] * ( 1 + 1 [mm] )^0 [/mm] + ... + [mm] p_5 [/mm] * ( 1 + 1 [mm] )^5 [/mm]
Danke und Gruß :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Sebastian!
> Gegeben:
> Ein VR aller Polynome mir reeelen Koeffizienten mit Grad < 6
> Kurz: [mm]V = \{p \in \IR | deg p <6 \}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Und eine Abbildung F: V -> V die Shift- Abbildung (Fp)(t)
> = p(t+1)
>
> Gesucht:
> Matrixdarstellung von F btgl. Basis {1, t, .... , [mm]t^5}[/mm]
>
> Hier meine Fragen:
> Jemand hatte die Lösung abgeschrieben ohne Sie zu
> verstehen und meinte
> F(1) = 1.
> Aber warum?
> Entspricht nicht F(1) = p( 1 + 1 ) ??
Nein. Durch $F$ wird ja ein Polynom auf ein (geshiftetes) Polynom abgebildet.
Hier ist $1$ das Einspolynom, also: $p(t)=1$. Fasse ich dies als Polynomfunktion auf, so ist es einfach die konstante Einsfunktion. Ich bezeichne es im Folgenden mal mit [mm] $\mathbb{I}$, [/mm] damit es zu keiner Verwechslung mit der reellen Zahl $1$ kommt.
Nun soll [mm] $F(\mathbb{I})$ [/mm] wieder ein Polynom sein (oder eine Funktion, wenn man es als Polynomfunktion [mm] $F(\mathbb{I}):\IR \to \IR$ [/mm] auffasst). Genauer gesagt gilt nach Definition:
[mm] $[F(\mathbb{I})](t) [/mm] = [mm] \mathbb{I}(t+1)$.
[/mm]
Aber das konstante Einspolynom bleibt das konstante Einspolynom, auch wenn man es shiftet. Stelle dir die konstante Einsfunktion vor. Die Funktionswerte bleiben gleich eins, auch wenn ich nicht $t$, sondern $t+1$ einsetze!
Daher gilt:
[mm] $[F(\mathbb{I})](t) [/mm] = [mm] \mathbb{I}(t+1) [/mm] = 1 = [mm] \mathbb{I}(t)$.
[/mm]
Wir haben also:
[mm] $F(\mathbb{I}) [/mm] = [mm] \mathbb{I}$.
[/mm]
(Ihr hattet das als $F(1)=1$ geschrieben.)
Klar? 
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mi 18.05.2005 | | Autor: | baddi |
Hi Julius,
> Nein. Durch [mm]F[/mm] wird ja ein Polynom auf ein (geshiftetes)
> Polynom abgebildet.
Das verstehe ich anscheinend wohl noch nicht recht:
F: V -> V die Shift- Abbildung (Fp)(t) = p(t+1)
Was heißt denn z.B. Fp ? Ist dass nur ein Name für eine Funktion,
oder heißt das F * p ?
Und heißt F * p komponentenweise Multiplikation ?
> Hier ist [mm]1[/mm] das Einspolynom, also: [mm]p(t)=1[/mm].
Heißt dann (?):
[mm] 1*t^0 [/mm] + ... + [mm] 1*t^5
[/mm]
Aber ich dachte, dass wäre p(1) ?
Blick gerade gar nicht durch ;-(
Danke Sebastian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Sebastian
$F(p)$ ist der Name für ein neues Polynom, dass so gebildet wird:
Nehme das alte Polynom $p$ und setze statt $t$ einfach $t+1$ ein.
Es gilt für das Einspolynom:
[mm] $\mathbb{I}(t) [/mm] = 1 [mm] \cdot t^0 [/mm] + 0 [mm] \cdot t^1 [/mm] + 0 [mm] \cdot t^2 [/mm] + 0 [mm] \cdot t^3 [/mm] + 0 [mm] \cdot t^4 [/mm] + 0 [mm] \cdot t^5$.
[/mm]
Jetzt klarer?
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Mi 18.05.2005 | | Autor: | baddi |
Hallo Julius :)
> [mm]F(p)[/mm] ist der Name für ein neues Polynom
Oha :) Wurde bei uns übrigens Fp geschrieben.
Wird wohl keinen Unterschied machen.
>, dass so gebildet wird: ... setze statt [mm]t[/mm] einfach [mm]t+1[/mm]
So war auch meine erste Interpretation.
Dann ist also
Fp(1) = [mm] p_0 [/mm] * [mm] 1^0 [/mm] + ... + [mm] p_5 [/mm] * [mm] 1^5 [/mm] = [mm] p_0 [/mm] + ... + [mm] p_5
[/mm]
Richtig ?
> Es gilt für das Einspolynom:
> [mm]\mathbb{I}(t) = 1 \cdot t^0 + 0 \cdot t^1 + 0 \cdot t^2 + 0 \cdot t^3 + 0 \cdot t^4 + 0 \cdot t^5[/mm].
Das Einspolynom ist also einfach die Darstellung der Zahl 1 als Polynom?
Warum einfach, wenns auch kompliziert geht ;)... Wozu das wieder gut sein soll. Tztztztz ;)
> Jetzt klarer?
Immerhin dass ;) Ich hoffe.
Viele Grüße
Sebastian
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