VI Summenoperationen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Di 19.10.2010 | | Autor: | mf1983 |
| Aufgabe | Zeige für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n} i^4 [/mm] = [mm] \bruch{n^5}{5}+\bruch{n^4}{2}+\bruch{n^3}{3}-\bruch{n}{30} [/mm] |
Hallo,
da mein Abitur bereits 8 Jahre zurückliegt und ich jetzt ein Studium aufgenommen habe, hier nun meine Frage zum Umgang mit der vollständigen Induktion:
(IA)
[mm] \summe_{i=1}^{1} i^4=1=\bruch{6(1)^5}{30}+\bruch{15(1)^4}{30}+\bruch{10(1)^3}{30}-\bruch{1}{30}=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] wahr
(IV)
--hier hab ich die Summe der Aufgabe hingeschrieben--
(IBeh)
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} i^4=\bruch{(n+1)^5}{5}+\bruch{(n+1)^4}{2}+\bruch{(n+1)^3}{3}-\bruch{n+1}{30}
[/mm]
Ab hier hängt's jetzt. Werde mir nicht klar, wie ich jetzt weiter vorgehen soll. Bin für jedenTipp dankbar.
Vorab vielen Dank für die Hilfe!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mf1983 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Zeige für alle n [mm]\in \IN[/mm]
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> [mm]\summe_{i=1}^{n} i^4[/mm] = [mm]\bruch{n^5}{5}+\bruch{n^4}{2}+\bruch{n^3}{3}-\bruch{n}{30}[/mm]
> Hallo,
> da mein Abitur bereits 8 Jahre zurückliegt und ich jetzt
> ein Studium aufgenommen habe, hier nun meine Frage zum
> Umgang mit der vollständigen Induktion:
>
> (IA)
> [mm]\summe_{i=1}^{1} i^4=1=\bruch{6(1)^5}{30}+\bruch{15(1)^4}{30}+\bruch{10(1)^3}{30}-\bruch{1}{30}=1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] wahr
> (IV)
> --hier hab ich die Summe der Aufgabe hingeschrieben--
> (IBeh)
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} i^4=\bruch{(n+1)^5}{5}+\bruch{(n+1)^4}{2}+\bruch{(n+1)^3}{3}-\bruch{n+1}{30}[/mm]
Das ist im eigentlichen Induktionsbeweis zu zeigen.
Nimm dir die linke Seite her und forme so um, dass du die (IV) benutzen kannst und schlussendlich die rechte Seite herausbekommst, also
[mm]\sum\limits_{i=1}^{n+1}i^4=\left[ \ \sum\limits_{i=1}^ni^4 \ \right] \ + \ (n+1)^4[/mm] einfach den letzten Summanden separat geschrieben.
Nun kannst du für die Summe bis n die (IV) verwenden
[mm]=\left[ \ \bruch{n^5}{5}+\bruch{n^4}{2}+\bruch{n^3}{3}-\bruch{n}{30} \ \right] \ + \ (n+1)^4[/mm]
Nun verrechne das weiter, bis du auf [mm]\ldots=\bruch{(n+1)^5}{5}+\bruch{(n+1)^4}{2}+\bruch{(n+1)^3}{3}-\bruch{n+1}{30}[/mm], also die rechte Seite der zu zeigenden Gleichheit kommst ...
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> Ab hier hängt's jetzt. Werde mir nicht klar, wie ich jetzt
> weiter vorgehen soll. Bin für jedenTipp dankbar.
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> Vorab vielen Dank für die Hilfe!!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Di 19.10.2010 | | Autor: | mf1983 |
Ach ja, jetzt wird mir wieder klar, wie das mit dem letzten Summanden ging. Dann sollte ich es hinbekommen!!!
Danke!!
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