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| Aufgabe | Aus einer Urne mit 32 Kugeln mit 8 verschiedenen Farben (jeweils 4 Kugeln von einer Farbe) werden Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Ziehen von 5 Kugeln, eine Farbe genau zwei Mal vorkommt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Ziehen von 9 Kugeln, genau vier Kugeln dieselbe Farbe haben |
Ich habe meine Problemstellung auf ein Urnenmodell übertragen.
Laut Monte-Carlo-Simulation müssten für a) ca. 27% und für b) 47%.
Wo ich mir nicht sicher bin, ob man mit einer formelmäßigen Beschreibung ebenfalls zum selben Ziel kommen könnte. Die Hypergeometrische Verteilung scheint da zwar der richtige Ansatz zu sein, jedoch gelingt es mir nicht, daraus eine gesetzmäßige Formel herzuleiten, da man die Verschiedenen Farben unterschiedlich kombinieren kann. Für eure Hilfe bin ich euch sehr dankbar.
Eine Ergänzung zu meinen ersten Versuchen:
Bei meinen zwei Fragen handelt es sich eher darum, eine Gesetzmäßigkeit herauszubekommen:
- Wenn ich eine Kugel ziehe, hat diese 100% irgendeine Farbe
- Wenn ich zwei Kugeln ziehe, haben diese zu ca. 9.7% die gleiche Farbe und zu ca. 90.3% eine unterschiedliche:
P(2 [mm] Gleichfarbig)=\bruch{8* \vektor{4 \\ 2}\vektor{4 \\ 0}\vektor{4 \\ 0}\vektor{4 \\ 0}\vektor{4 \\ 0}\vektor{4 \\ 0}\vektor{4 \\ 0}\vektor{4 \\ 0}}{\vektor{32 \\ 2}}
[/mm]
so und in folgenden Schritten (k>2) versagt mein Verstand, wenn es um eine mathematische Formulierung geht:
Wenn ich drei Kugeln ziehe, besteht nach Monte-Carlo (MC) die Wahrscheinlichkeit von:
- ca. 1%, dass alle Farben gleich sind,
- ca. 27%, dass genau zwei gleichfarbige Kugeln vorliegen und
- ca. 72%, das alle Kugeln verschiedenfarbig sind
Wenn ich fünf Kugeln ziehe, können schon Mal nicht fünf gleichfarbige Kugeln gezogen werden. Daher liegt laut MC die folgende Wahrscheinlichkeit vor:
- ca. 1%, dass vier Kugeln gleichfarbig sind
- ca. 17%, dass drei Kugeln gleichfarbig sind und der Rest verschiedenfarbig,
- ca. 53%, dass zwei gleichfarbig gleichfarbig sind und Rest verschiedenfarbig und
- ca. 29%, dass alle Kugeln verschiedenfarbig sind
Anderes Beispiel:
Wenn ich neun Kugeln ziehe, können schon Mal keine 9 verschiedenfarbige Kugeln vorliegen. Auch können nicht 9 gleichfarbige (sondern max. 2 mal 4 + 1) Kugeln vorliegen. Daher folgt laut MC:
- ca. 0.05% für 4 gleichfarbige Kugeln + 4 gleichfarbige Kugeln + 1 verschiedenfarbige Kugel,
- ca. 3% für 4 gleichfarbige Kugeln + 3 gleichfarbig Kugeln+ 2 verschiedenfarbige Kugeln,
- ca. 22% für 4 gleichfarbige Kugeln, 2 gleichfarbige Kugeln + 3 verschiedenfarbige Kugeln,
- ca. 47% für 4 gleichfarbige Kugeln + 5 verschiedenfarbige Kugeln),
- ca. 25% für 3 gleichfarbige Kugeln + 3 gleichfarbige Kugeln + drei verschiedenfarbige Kugeln und
- ca. 3% für 3 gleichfarbige Kugeln + 2 gleichfarbige Kugeln + 4 verschiedenfarbige
Wie man erkennen kann, interessieren mich die Farbkonstellationen mit ihrer Auftrittswahrscheinlichkeit. Es wirkt für mich persönlich ziemlich tricky. Allein das Problem klar zu formulieren hat etwas gedauert.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:41 Sa 26.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo schurik01 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
(Liege ich richtig mit meiner Vermutung, dass es um ein Kartenspiel geht?  )
Mir ist etwas unklar, von welchen Ereignissen genau du die Wahrscheinlichkeit suchst; daher frage ich lieber erst einmal nach, bevor ich mir Gedanken mache:
> Aus einer Urne mit 32 Kugeln mit 8 verschiedenen Farben
> (jeweils 4 Kugeln von einer Farbe) werden Kugeln ohne
> Zurücklegen gezogen.
>
> a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim
> Ziehen von 5 Kugeln, eine Farbe genau zwei Mal vorkommt?
Meinst du eine bestimmte Farbe, die genau zwei Mal vorkommen soll (z.B. "genau 2 rote Kugeln gezogen"), oder geht es um das Ereignis, dass mindestens eine Farbe genau zwei Mal vorkommt?
> b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim
> Ziehen von 9 Kugeln, genau vier Kugeln dieselbe Farbe
> haben
Hier geht es um das Ereignis, dass unter den 9 Kugeln von mindestens einer Farbe alle 4 Kugeln vertreten sind?
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Sa 26.03.2016 | | Autor: | schurik01 |
Hallo Tobi,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
(Nein, es handelt sich nicht um ein Kartenspiel, eher um ein produktionstechnisches Problem :) )
Ich habe gehofft meine Frage etwas vereinfacht darstellen zu können. Leider ist es mir nicht gelungen. Daher formuliere ich meine Problemstellung etwas detaillierter.
Bei meinen zwei Fragen handelt es sich eher darum, eine Gesetzmäßigkeit herauszubekommen:
- Wenn ich eine Kugel ziehe, hat diese 100% irgendeine Farbe
- Wenn ich zwei Kugeln ziehe, haben diese zu ca. 9.7% die gleiche Farbe und zu ca. 90.3% eine unterschiedliche:
P(2 [mm] Gleichfarbig)=\bruch{8* \vektor{4 \\ 2}\vektor{4 \\ 0}\vektor{4 \\ 0}\vektor{4 \\ 0}\vektor{4 \\ 0}\vektor{4 \\ 0}\vektor{4 \\ 0}\vektor{4 \\ 0}}{\vektor{32 \\ 2}}
[/mm]
so und in folgenden Schritten (k>2) versagt mein Verstand, wenn es um eine mathematische Formulierung geht:
Wenn ich drei Kugeln ziehe, besteht nach Monte-Carlo (MC) die Wahrscheinlichkeit von:
- ca. 1%, dass alle Farben gleich sind,
- ca. 27%, dass genau zwei gleichfarbige Kugeln vorliegen und
- ca. 72%, das alle Kugeln verschiedenfarbig sind
Wenn ich fünf Kugeln ziehe, können schon Mal nicht fünf gleichfarbige Kugeln gezogen werden. Daher liegt laut MC die folgende Wahrscheinlichkeit vor:
- ca. 1%, dass vier Kugeln gleichfarbig sind
- ca. 17%, dass drei Kugeln gleichfarbig sind und der Rest verschiedenfarbig,
- ca. 53%, dass zwei gleichfarbig gleichfarbig sind und Rest verschiedenfarbig und
- ca. 29%, dass alle Kugeln verschiedenfarbig sind
Anderes Beispiel:
Wenn ich neun Kugeln ziehe, können schon Mal keine 9 verschiedenfarbige Kugeln vorliegen. Auch können nicht 9 gleichfarbige (sondern max. 2 mal 4 + 1) Kugeln vorliegen. Daher folgt laut MC:
- ca. 0.05% für 4 gleichfarbige Kugeln + 4 gleichfarbige Kugeln + 1 verschiedenfarbige Kugel,
- ca. 3% für 4 gleichfarbige Kugeln + 3 gleichfarbig Kugeln+ 2 verschiedenfarbige Kugeln,
- ca. 22% für 4 gleichfarbige Kugeln, 2 gleichfarbige Kugeln + 3 verschiedenfarbige Kugeln,
- ca. 47% für 4 gleichfarbige Kugeln + 5 verschiedenfarbige Kugeln),
- ca. 25% für 3 gleichfarbige Kugeln + 3 gleichfarbige Kugeln + drei verschiedenfarbige Kugeln und
- ca. 3% für 3 gleichfarbige Kugeln + 2 gleichfarbige Kugeln + 4 verschiedenfarbige
Wie man erkennen kann, interessieren mich die Farbkonstellationen mit ihrer Auftrittswahrscheinlichkeit. Es wirkt für mich persönlich ziemlich tricky. Allein das Problem klar zu formulieren hat etwas gedauert.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 So 27.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Bei meinen zwei Fragen handelt es sich eher darum, eine
> Gesetzmäßigkeit herauszubekommen:
>
> - Wenn ich eine Kugel ziehe, hat diese 100% irgendeine
> Farbe
> - Wenn ich zwei Kugeln ziehe, haben diese zu ca. 9.7% die
> gleiche Farbe und zu ca. 90.3% eine unterschiedliche:
>
> P(2 [mm]Gleichfarbig)=\bruch{8* \vektor{4 \\ 2}\vektor{4 \\ 0}\vektor{4 \\ 0}\vektor{4 \\ 0}\vektor{4 \\ 0}\vektor{4 \\ 0}\vektor{4 \\ 0}\vektor{4 \\ 0}}{\vektor{32 \\ 2}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> so und in folgenden Schritten (k>2) versagt mein Verstand,
> wenn es um eine mathematische Formulierung geht:
>
> Wenn ich drei Kugeln ziehe, besteht nach Monte-Carlo (MC)
> die Wahrscheinlichkeit von:
> - ca. 1%, dass alle Farben gleich sind,
> - ca. 27%, dass genau zwei gleichfarbige Kugeln vorliegen
> und
> - ca. 72%, das alle Kugeln verschiedenfarbig sind
Auch diese Werte passen gemäß "meiner" Formel (s.u.).
> Wenn ich fünf Kugeln ziehe, können schon Mal nicht fünf
> gleichfarbige Kugeln gezogen werden. Daher liegt laut MC
> die folgende Wahrscheinlichkeit vor:
> - ca. 1%, dass vier Kugeln gleichfarbig sind
> - ca. 17%, dass drei Kugeln gleichfarbig sind und der Rest
> verschiedenfarbig,
> - ca. 53%, dass zwei gleichfarbig gleichfarbig sind und
> Rest verschiedenfarbig und
> - ca. 29%, dass alle Kugeln verschiedenfarbig sind
Du hast die folgende Fälle übersehen:
- Eine Farbe dreifach und eine Farbe zweifach vertreten.
- Zwei Farben jeweils doppelt vertreten, eine Farbe einmal.
Auch die Prozentzahlen stimmen demzufolge nicht ganz mit meinen überein.
> Anderes Beispiel:
> Wenn ich neun Kugeln ziehe, können schon Mal keine 9
> verschiedenfarbige Kugeln vorliegen. Auch können nicht 9
> gleichfarbige (sondern max. 2 mal 4 + 1) Kugeln vorliegen.
> Daher folgt laut MC:
> - ca. 0.05% für 4 gleichfarbige Kugeln + 4 gleichfarbige
> Kugeln + 1 verschiedenfarbige Kugel,
> - ca. 3% für 4 gleichfarbige Kugeln + 3 gleichfarbig
> Kugeln+ 2 verschiedenfarbige Kugeln,
> - ca. 22% für 4 gleichfarbige Kugeln, 2 gleichfarbige
> Kugeln + 3 verschiedenfarbige Kugeln,
> - ca. 47% für 4 gleichfarbige Kugeln + 5
> verschiedenfarbige Kugeln),
> - ca. 25% für 3 gleichfarbige Kugeln + 3 gleichfarbige
> Kugeln + drei verschiedenfarbige Kugeln und
> - ca. 3% für 3 gleichfarbige Kugeln + 2 gleichfarbige
> Kugeln + 4 verschiedenfarbige
Hier scheint auch nicht alles zu passen; das habe ich aber nicht mehr näher untersucht.
Sei k die Anzahl der Ziehungen (also k eine natürliche Zahl mit [mm] $k\le [/mm] 32$).
Eine "Farbkonstellation" wie von dir anscheinend beabsichtigt, kann beschrieben werden durch ein Quadrupel [mm] $(n_4,n_3,n_2,n_1)$ [/mm] natürlicher Zahlen mit folgender Bedeutung:
[mm] $n_4$ [/mm] Farben mit allen 4 Kugeln in der Ziehung vertreten
[mm] $n_3$ [/mm] Farben mit genau 3 Kugeln in der Ziehung vertreten
[mm] $n_2$ [/mm] Farben mit genau 2 Kugeln in der Ziehung vertreten
[mm] $n_1$ [/mm] Farben mit genau 1 Kugel in der Ziehung vertreten
(Natürlich möchte ich nur solche Quadrupel zulassen, die einer tatsächlich möglichen Farbkonstellation entsprechen, für die also insbesondere [mm] $n_4*4+n_3*3+n_2*2+n_1*1=k$ [/mm] gilt ("die Anzahl der in der Ziehung vertretenen Kugeln ist k").)
Für jedes solche Quadrupel erhalten wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit für eine entsprechende Farbkonstellation durch die Formel
[mm] $\frac{\binom{8}{n_4}*\binom{8-n_4}{n_3}4^{n_3}*\binom{8-n_4-n_3}{n_2}6^{n_2}*\binom{8-n_4-n_3-n_2}{n_1}4^{n_1}}{\binom{32}{k}}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:22 Mo 28.03.2016 | | Autor: | schurik01 |
Vielen Dank für deinen hohen Aufwand!
Bei der Formel habe ich noch einen Hänger. Wenn ich die geforderten Randbedingungen einhalten möchte, kann ich eine Ziehung von k=2 nicht abbilden, da ich dafür n1-n4 null setzen müsste und die gesamte Gleichung ebenfalls null wird.
Ferner interessiert mich sehr, welcher Bereich aus der Mathematik sich hierunter verbirgt. Allein mit dem Wissen über multivariate hypergeometrische Verteilungen kommt man ja nicht weiter.
Schöne Grüße und nochmals vielen Dankl!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:21 Mo 28.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Bei der Formel habe ich noch einen Hänger. Wenn ich die
> geforderten Randbedingungen einhalten möchte, kann ich
> eine Ziehung von k=2 nicht abbilden, da ich dafür n1-n4
> null setzen müsste und die gesamte Gleichung ebenfalls
> null wird.
Im Falle k=2 gezogener Kugeln sind ja zwei Farbkonstellationen denkbar:
i) Eine Farbe doppelt vertreten.
ii) Zwei Farben je einmal vertreten.
Diese werden durch die Quadrupel
i) [mm] $(n_4,n_3,n_2,n_1)=(0,0,1,0)$
[/mm]
bzw.
ii) [mm] $(n_4,n_3,n_2,n_1)=(0,0,0,2)$
[/mm]
beschrieben.
> Ferner interessiert mich sehr, welcher Bereich aus der
> Mathematik sich hierunter verbirgt. Allein mit dem Wissen
> über multivariate hypergeometrische Verteilungen kommt man
> ja nicht weiter.
Im Kopf hatte ich ein Modell mit einer Laplace-Verteilung.
Gesucht war dann die Wahrscheinlichkeit nicht eines Ergebnisses (Elementarereignisses), sondern eines (durch ein Quadrupel repräsentiertes) Ereignisses.
Wie meist bei Laplace-Modellierungen läuft die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auf ein "Zähl-Problem" hinaus.
Den Zweig der Mathematik, der sich mit "Zähl-Problemen" beschäftigt, nennt man Kombinatorik.
(Auch zur Herleitung, dass (multivariate) hypergeometrische Verteilungen die gewünschte Anwendung haben, legt man gewöhnlich ein Modell mit einer Laplace-Verteilung zugrunde und löst dann ein kombinatorisches Problem.)
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