Urnenexperiment Zufallsvariabl < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Fr 13.11.2009 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | a) Urne mit 3 Kugeln, mit Ziffern 1,3,5. Zwei Kugeln mit zurücklegen ziehen. Die Zufallsvariable [mm] X_1 [/mm] gibt die zahl auf der ersten kugel an und die Zufallsvariable [mm] X_2 [/mm] die auf der zweiten kugel.
Berechnen sie die Verteilung von [mm] Y=max\{X_1,X_2\} [/mm] und [mm] Z=X_1+X_2 [/mm]
b) was ergibt sich, wenn das experiment ohne zurücklegen duechgeführt wird? |
Hi,
Ich hab noch ein paar probleme mit dem prinzip der zufallsvariablen und deren verteilung. auch wie man das ganze aufschreibt.
also meine idee war erstmal
[mm] x_1=1, x_2=3, x_3=5 [/mm]
[mm] X_1=\{x_j| j \in \{1,2,3\}\}
[/mm]
[mm] X_2=\{x_i| i \in \{1,2,3\}\}
[/mm]
is das schonmal richtig?
ja und jetzt erstmal:
[mm] P(X_1=x_j)=1/3 [/mm] oder?
[mm] P(X_2=x_i)=1/3 [/mm]
so und jetzt kann ich mir unter den verknüpfungen der zufallsvariablen gar nichts vorstellen.
also di zweite zufallsvariable gibt die summe der ziffer auf der ersten und 2 kugel an? also kann Z quasi 4, 6,8,2,10 sein? is die idee schonmal richtig?
und was soll Y bedeuten? Die Zufallsvariable gibt die größere ziffer der ersten und zweiten kugel an?
also quasi 1,3 oder 5?
vll kann mir erstmal jemand sagen, ob ich das überhaupt richtig verstanden habe bis dahin. wäre super. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 Sa 14.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> Hi,
Moin aly19.
> Ich hab noch ein paar probleme mit dem prinzip der
> zufallsvariablen und deren verteilung. auch wie man das
> ganze aufschreibt.
> also meine idee war erstmal
> [mm]x_1=1, x_2=3, x_3=5[/mm]
> [mm]X_1=\{x_j| j \in \{1,2,3\}\}[/mm]
> [mm]X_2=\{x_i| i \in \{1,2,3\}\}[/mm]
>
> is das schonmal richtig?
> ja und jetzt erstmal:
> [mm]P(X_1=x_j)=1/3[/mm] oder?
> [mm]P(X_2=x_i)=1/3[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> so und jetzt kann ich mir unter den verknüpfungen der
> zufallsvariablen gar nichts vorstellen.
> also di zweite zufallsvariable gibt die summe der ziffer
> auf der ersten und 2 kugel an? also kann Z quasi 4,
> 6,8,2,10 sein? is die idee schonmal richtig?
>
> und was soll Y bedeuten? Die Zufallsvariable gibt die
> größere ziffer der ersten und zweiten kugel an?
> also quasi 1,3 oder 5?
> vll kann mir erstmal jemand sagen, ob ich das überhaupt
> richtig verstanden habe bis dahin. wäre super. :)
vg Luis
PS: Bitte achte etwas auf die Rechschreibung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Sa 14.11.2009 | | Autor: | aly19 |
ok dann hab ich das soweit verstanden.
habe jetzt probleme das ganze aufzuschreiben. also ich fange mal mit Z an.
[mm] P(Z=z_k)=\summe_{x_j+x_i=z_k}^{} P({X_1=x_j})P({X_2=x_i})
[/mm]
weil die beiden zufallsvariablen ja unabhängig sind.
kann ich das mit der summe so schreiben?
und wenn da jetzt steht berechne die verteilung für Z, heißt das dann ich soll das für alle [mm] z_k [/mm] die möglich sind einfach hinschreiben, also quasi
[mm] P(Z=4)=P(X_1=1)*P(X_2=3)+P(X_1=3) P(X_2=1) [/mm] =2/9
usw dann für alle anderen?
und jetzt zu Y
Y kann 1,3 oder 5 sein
P(Y=1) dann müssen [mm] X_1=1 [/mm] und [mm] X_2=1 [/mm] sein oder?
P(Y=3) dann entweder [mm] X_1=3 [/mm] oder [mm] X_2=3 [/mm] oder beide gleich 3.
P(Y=5) dann entweder beide 5 oder eine 5 und die andere ziffer egal.
aber wie kann ich das formal aufschreiben??
vielen dank für die hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo Aly!
Würde das folgendermaßen machen:
[mm] $\Omega=\{(w_1,w_2),w_1,w_2\in\{1,3,5\}\}$
[/mm]
[mm] $w_i [/mm] =$ Ziffer der iten gezogene Kugel
...
P=Laplace-Verteilung auf$ [mm] \Omega$
[/mm]
[mm] $X_1 [/mm] = $Ziffer der ersten Kugel
[mm] $X_1:\Omega\to\{1,3,5\}$
[/mm]
[mm] $(w_1,w_2)\mapsto w_1$
[/mm]
Analog [mm] $X_2$
[/mm]
[mm] $Z:\Omega\to\{2,4,6,8,10\}$
[/mm]
[mm] $(w_1,w_2)\mapsto w_1+w_2$
[/mm]
usw.
Dann die Wkeiten ausrechnen:
Bsp:
[mm] $P(Z=2)=P(Z^{-1}(\{2\})=P(\{w\in\Omega, w_1+w_2=2\})=P(\{(1,1)\})=\frac{1}{9}$
[/mm]
Gruß
Fry
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