Urnenbeispiel < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Urne A enthält zwei weiß und zwei schwarze Kugeln. Urne B enthält drei weiße und zwei schwarze Kugeln. Eine Kugel wir von Urne A nach Urne B transferiert. Danach wird eine Kugel aus Urne B gezogen.
A) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel weiß ist?
B) Gegeben ist gegezogen Kugel ist weiß. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die transferierte Kugel auch weiß ist? |
Hallo!
zu A) Ich hab mir einen Ereignisbaum aufgezeichnet und komme auf [mm] \bruch{2}{4} [/mm] x [mm] \bruch{3}{6} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}. [/mm] Kann das stimmen? Gibt es auch eine formalere Herleitung?
zu B) Wie muss ich hier den Ereignisbaum zeichnen? einfach umdrehen?
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Ich komm einfach nicht drauf, wenn ich aus Urne A eine Kugel ziehe so ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese weiß ist 1/2 (selbes für schwarz).
Wenn die Kugel weiß ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit aus Urne B eine weiße Kugel zu ziehen 2/6. Gesamte Wahrscheinlichkeit: 1/2*2/6 = 6/36 = 1/6
Wenn die Kugel schwarz ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit aus Urne B eine weiße Kugel zu ziehen 3/6. Gesamte Wahrscheinlichkeit: 1/2*3/6 = 1/4
Wie kombiniere ich nun diese zwei Wahrscheinlichkeiten mit dem Satz von Bayes?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Di 30.10.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo mathe-tu-muenchen,
definiere mit [mm] $W_i$ [/mm] das Ereignis, dass in Zug $i$ eine weisse Kugel
gezogen wird. Analog [mm] $S_i$.
[/mm]
A) Gesucht ist [mm] $P(W_2)=P(W_2\cap W_1)+P(W_2\cap S_1)= P(W_2\mid W_1)P(W_1)+P(W_2\mid S_1)P(S_1)=4/6\times 1/2+3/6\times [/mm] 1/2=7/12$.
B) [mm] $P(W_1\mid W_2)=P(W_2\mid W_1)P(W_1)/P(W_2)=(4/6\times [/mm] 1/2)/(7/12)=4/7$.
lg
Luis
PS: Bitte denke an meine Bitte ...
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Danke!
Ja dieses PDF ist nicht das erste, das ich zum Thema bedingte Wahrscheinlichkeit lese. Ich tue mir jedoch immer schwer es dann auf das konkrete Beispiel anzuwenden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Di 30.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Ich komm einfach nicht drauf, wenn ich aus Urne A eine
> Kugel ziehe so ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese weiß
> ist 1/2 (selbes für schwarz).
das stimmt.
> Wenn die Kugel weiß ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit
> aus Urne B eine weiße Kugel zu ziehen 2/6.
Wieso das? In B sind jetzt 4 weiße und 2 schwarze!
Also P(Trans=weiss + gezogen=weiss) = 1/2 * 4/6 = 1/3
> Gesamte
> Wahrscheinlichkeit: 1/2*2/6 = 6/36 = 1/6
>
> Wenn die Kugel schwarz ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit
> aus Urne B eine weiße Kugel zu ziehen 3/6. Gesamte
> Wahrscheinlichkeit: 1/2*3/6 = 1/4
Stimmt.
> Wie kombiniere ich nun diese zwei Wahrscheinlichkeiten mit
> dem Satz von Bayes?
Wozu Bayes hier?
Einfach addieren: P(gezogen=weiss) = 1/3 + 1/4 = 7/12
Bayes brauchst du erst für b.)
P(trans=weiss, falls weiss gezogen)
= P(trans=weiss und gezogen=weiss) / P(gezogen=weiss)
= 1/2 * 2/3 / (7/12) = 4/7.
Luis hatte diese Werte schon korrekt angegeben.
LG
Will
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| Aufgabe | In einer Kiste sind zwei ununterscheidbare Urnen. Einer der Urnen enthält 4 weiße und 3 rote Kugeln und die zweite 3 weiße und 7 rote. Eine dieser Urnen wird zufällig gewählt und eine Kugel wird aus dieser Urne gezogen
a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel weiß ist?
b) Gegeben die gezogene Kugel ist weiß. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie aus der ersten Urne stammt? |
Hallo!
Ich möchte noch so ein ähnliches Beispiel für mein Verständnis versuchen.
zu a) Hier brauche ich wieder keinen Bayes. Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste oder die zweite Kiste kommt ist 1/2 und, dass dann eine weiße Kugel gezogen wird ist 4/7 bzw. 3 /10.
Also ein wenig formaler: P(K1 [mm] \cap [/mm] W1) + P (K2 [mm] \cap [/mm] W2) = 1/2 * 4/7 + 1/2 * 3/10 = 61/140.
zu b) Die totale Wahrscheinlichkeit für den Zug einer weißen Kugel habe ich ja schon, deshalb verwende ich Bayes.
P(K1|W) = [mm] \bruch{1/2 * 4/7}{61/140} [/mm] = 40/61.
Ich bekomme zwar seltsame Zahlenwerte, aber das Ergebnis sollte ansich passen oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Mi 31.10.2007 | | Autor: | koepper |
> In einer Kiste sind zwei ununterscheidbare Urnen. Einer der
> Urnen enthält 4 weiße und 3 rote Kugeln und die zweite 3
> weiße und 7 rote. Eine dieser Urnen wird zufällig gewählt
> und eine Kugel wird aus dieser Urne gezogen
>
> a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene
> Kugel weiß ist?
> b) Gegeben die gezogene Kugel ist weiß. Wie hoch ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass sie aus der ersten Urne stammt?
Guten Morgen.
> zu a) Hier brauche ich wieder keinen Bayes. Die
> Wahrscheinlichkeit, dass die erste oder die zweite Kiste
> kommt ist 1/2 und, dass dann eine weiße Kugel gezogen wird
> ist 4/7 bzw. 3 /10.
>
> Also ein wenig formaler: P(K1 [mm]\cap[/mm] W1) + P (K2 [mm]\cap[/mm] W2) =
> 1/2 * 4/7 + 1/2 * 3/10 = 61/140.
>
> zu b) Die totale Wahrscheinlichkeit für den Zug einer
> weißen Kugel habe ich ja schon, deshalb verwende ich
> Bayes.
>
> P(K1|W) = [mm]\bruch{1/2 * 4/7}{61/140}[/mm] = 40/61.
>
> Ich bekomme zwar seltsame Zahlenwerte, aber das Ergebnis
> sollte ansich passen oder?
absolut korrekt, schön! ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Gruß
Will
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Hallöle,
Stochastik war nie meine Stärke - bitte nicht hauen, wenn diese Frage gaaanz blöd sein sollte.
Ist das erste Ereignis (Ziehen und Transferieren der Kugel aus Urne A) nicht völlig unabhängig davon, was später mit Urne B passiert?
Egal, was aus B gezogen wird, in A waren gleich viele schwarze und weiße Kugeln, also muss doch die Wahrscheinlichkeit [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] sein ??
Das wäre ja so, als ob die Bildung einer Koalition sich rückwirkend bei der Wahlbeteiligung bemerkbar machen würde. Irgendwie passt das nicht in meine Vorstellung von einem - zumindest im Makroskopischen - kausalen Universum....
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:07 Mi 31.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Peter,
> Ist das erste Ereignis (Ziehen und Transferieren der Kugel
> aus Urne A) nicht völlig unabhängig davon, was später mit
> Urne B passiert?
nein, denn die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer weissen Kugel aus B hängt davon ab, welche Kugel aus A transferiert wird.
> Egal, was aus B gezogen wird, in A waren gleich viele
> schwarze und weiße Kugeln, also muss doch die
> Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{2}[/mm] sein ??
Das ist sie auch - nämlich für das Ziehen einer weissen Kugel aus A.
> Das wäre ja so, als ob die Bildung einer Koalition sich
> rückwirkend bei der Wahlbeteiligung bemerkbar machen würde.
Ich denke ich sehe das Mißverständnis:
Eigentlich steht ja nach Ablauf des Experimentes fest, welche Kugel aus A gezogen und in B gelegt wurde.
Wir untersuchen trotzdem die Wahrscheinlichkeit dafür, eine weisse gezogen zu haben.
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung untersucht nicht nur, mit welcher Wahrscheinlichkeit zukünftige Ereignisse stattfinden werden, sondern kann auch ohne weiteres dazu herangezogen werden zu untersuchen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Aussage über ein Ereignis aus der Vergangenheit zutrifft, obwohl dem "Allwissenden" die Wahrheit ja bekannt ist. Jeder Vorgang - in Vergangenheit, Gegenwart oder Zukunft - dessen Ausgang unbekannt ist (und sei es auch nur subjektiv unbekannt) kann als Zufallsexperiment betrachtet werden.
Dadurch eröffnen sich zB wichtige Anwendungen in der Kriminologie.
> Irgendwie passt das nicht in meine Vorstellung von einem -
> zumindest im Makroskopischen - kausalen Universum....
Keine Sorge! Kausalität ist und bleibt wesentliche Grundlage jeder wissenschaftlichen Modellbildung "im großen".
Alle Klarheiten beseitigt ?
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallo Will,
das Missverständnis war, dass die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel aus A zu ziehen, nicht durch das Experiment an Urne B geändert wird, sondern dass a posteriori gesagt werden kann, dass von den beiden gleich wahrscheinlichen Ereignissen dieses oder jenes vermutlich tatsächlich eingetreten ist.
...stimmt doch so?
Danke nochmals,
Peter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Mi 31.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Peter,
> das Missverständnis war, dass die Wahrscheinlichkeit, eine
> weiße Kugel aus A zu ziehen, nicht durch das Experiment an
> Urne B geändert wird, sondern dass a posteriori gesagt
> werden kann, dass von den beiden gleich wahrscheinlichen
> Ereignissen dieses oder jenes vermutlich tatsächlich
> eingetreten ist.
>
> ...stimmt doch so?
Ja genau. Man spricht in solchen Fällen in der Tat von der "a priori" - Wahrscheinlichkeit, hier 1/2.
Wenn wir dann weitere Fakten kennen, können wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines solchen Falles dann als bedingte Wsk. neu berechnen. Das nennt man dann "a posteriori" - Wahrscheinlichkeit.
LG
Will
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://www.mathesite.de/pdf/bayes.pdf