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| Aufgabe | In n Urnen mit den Nummern 1 bis n werden n Kugeln mit den Nummern 1 bis n zufällig verteilt.
a) Ermittle für n=3 eine Ergebnismenge. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt genau eine Urne Leer?
b) Ermittle allgemein die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau eine Urne leer bleibt.
c) Ab welchem n ist die Wahrscheinlichkeit für genau eine leere Urne kleiner als 0,2?
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt nur die Urne mit der Nummer 1 leer? |
Hallo,
Aufgabe a) habe ich schon gelöst, p=2/3
bei der b) habe ich für n=2 auch eine Wahrscheinlichkeit von 1/2, für n=4 aber leider 9/16 und ich weiß nicht wie ich das einfacher als mit Möglichkeiten zählen rausfinden kann. Wielleicht kann mir ja einer von euch weiterhelfen. Ich hatte dann die Idee, dass die Formel [mm] \bruch {(n-1)^{n-2}}{n^{n-2}}sein [/mm] könnte, aber stimmt das und wie beweise ich es
Danke schon mal im Voraus,
Rachel
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 21:07 Sa 23.09.2006 | | Autor: | ullim |
Ich würde die Aufgabe wie folgt angehen.
Man kann die n Kugeln auf [mm] n^n [/mm] Möglichkeiten verteilen. Beim Verteilen der ersten Kugel hast Du n Möglichkeiten, ebenfalls beim verteilen der zweiten usw. Also gibt es [mm] n^n [/mm] Möglichkeiten insgesamt die Kugeln zu verteilen.
Soll genau eine Urne leer bleiben, bedeutet das, in genau einer Urne liegen 2 Kugeln, in einer keine und in den restlichen jeweils genau eine. Also sieht die Verteilung der Kugeln folgendermaßen aus
Eine Urne = 0 Kugeln
Eine Urne = 2 Kugeln
Urne 3 bis Urne n = 1 Kugel
Die Anzahl der Permutationen dieser Folge beträgt n!
Also ist die Wahrscheinlichkeit das in genau einer Urne keine Kugel liegt [mm] \bruch{n!}{n^n} [/mm] wenn [mm] n\ge2 [/mm] gilt
Für 2 ist das Ergebniss [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und für n = 3 ist das Ergebnis [mm] \bruch{2}{9} [/mm] und für n = 4 folgt [mm] \bruch{3}{32} \le [/mm] 0.2
Da [mm] n^n [/mm] schneller steigt als n!, gilt ab n = 4
die Wahrscheinlichkeit, das genau eine Urne keine Kugel enthält, ist kleiner als 0.2.
Die Wahrscheinlichkeit das nur die 1. Urne keine Kugel enthält berechnet sich zu [mm] \bruch{(n-1)!}{n^n} [/mm] weil die erste Urne in die Berechnung der Permutationen nun nicht mehr einbezogen werden darf.
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> Ich würde die Aufgabe wie folgt angehen.
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> Man kann die n Kugeln auf [mm]n^n[/mm] Möglichkeiten verteilen. Beim
> Verteilen der ersten Kugel hast Du n Möglichkeiten,
> ebenfalls beim verteilen der zweiten usw. Also gibt es [mm]n^n[/mm]
> Möglichkeiten insgesamt die Kugeln zu verteilen.
>
> Soll genau eine Urne leer bleiben, bedeutet das, in genau
> einer Urne liegen 2 Kugeln, in einer keine und in den
> restlichen jeweils genau eine. Also sieht die Verteilung
> der Kugeln folgendermaßen aus
>
> Eine Urne = 0 Kugeln
> Eine Urne = 2 Kugeln
> Urne 3 bis Urne n = 1 Kugel
>
> Die Anzahl der Permutationen dieser Folge beträgt n!
Wie kommst du darauf?
>
> Also ist die Wahrscheinlichkeit das in genau einer Urne
> keine Kugel liegt [mm]\bruch{n!}{n^n}[/mm] wenn [mm]n\ge2[/mm] gilt
>
> Für 2 ist das Ergebniss [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und für n = 3 ist das
> Ergebnis [mm]\bruch{2}{9}[/mm] und für n = 4 folgt [mm]\bruch{3}{32} \le[/mm]
> 0.2
[mm] \bruch{2}{9} [/mm] kann soweit ich das Überblicke nicht richtig sein. Den Teil der Aufgabe haben wir in der Schule schon mit unserem Lehrer besprochen und kamen auf [mm] \bruch{2}{3}, [/mm] bei n=4 komme ich mit Hilfe von Bäumchenmalen etc. auch auf [mm] \bruch{144}{256}=\bruch{9}{16} [/mm] und ich bin mir sehr sicher, dass diese Werte richtig sind
>
> Da [mm]n^n[/mm] schneller steigt als n!, gilt ab n = 4
>
> die Wahrscheinlichkeit, das genau eine Urne keine Kugel
> enthält, ist kleiner als 0.2.
>
> Die Wahrscheinlichkeit das nur die 1. Urne keine Kugel
> enthält berechnet sich zu [mm]\bruch{(n-1)!}{n^n}[/mm] weil die
> erste Urne in die Berechnung der Permutationen nun nicht
> mehr einbezogen werden darf.
Das kann eigentlich auch nicht sein, da es für n=3 schon nicht mehr stimmt.
Ich bin in der Zwischenzeit auf [mm] \bruch{(n-1)^n}{n^n }, [/mm] da ich von den n Möglichkeiten in jedem Schritt eine wegnehme, aber die Schritte n mal durchführe.
Ich bräuchte jetzt also nur noch mal Hilfe bei der b).
Vielen Dank für eure Mühe.
Rachel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Mo 25.09.2006 | | Autor: | kiwiaczek |
Hallo rachel_hannah!
Ist Deine Frage noch aktuell?
Ich denke, dass ich b) und d) beantworten koennte; c) muss ich noch ueberlegen.
Gruss, Kiwi
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Hi, danke für das Angebot, wir ham die Aufgabe aber heute schon besprochen und auf nen Teil war ich auch gekommen, aber halt net ganz. Nur damit ihr die Antwort findet sofern sie euch interessiert:
p(eine Urne frei) = [mm] \bruch{n(n-1)}{2}*\bruch{n!}{n^n}
[/mm]
c ist ja einfaches einsetzen in die Formel, die Bedingung ist bei n = 7 erfüllt und d hatte ich ja schon gesagt.
Aber vielen Dank für euer Bemühen!
Rachel
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